Відстань від точки до площини

Нехай дана точка М₀(x₀,y₀,z₀), а площина задана загальним рівнянням Ax+By+Cz+D=0. Нормальний вектор площини =(А,В,С). Розглянемо такий вектор || , що його початок – точка Н(x,y,z) належить площині. Тоді відстань d від точки М₀(x₀,y₀,z₀) до площини буде дорівнювати довжині вектора | |. =(x – x₀ , y – y₀ , z – z₀). Знайдемо скалярний добуток: · =| |·| | cosφ. Так як кут φ між векторами  і  може бути 0˚, або 180˚, то cosφ= 1. Отже, · = | || |. Звідки

d = | |=  = .

Оскільки точка Н належить площині, то її координати задовольняють рівняння (37), тому –Ax–By–Cz=D і

d =                                        (40).

Пряма лінія у просторі

Так як і на площині пряму лінію у просторі можна задати двома точками або точкою і направляючим вектором. Крім того, її можна задати як перетин двох площин.

1.  Канонічні рівняння прямої (за точкою і направляючим вектором)

Нехай в афінній с-мі коор.пряма проходить через т.М₀ (x₀,y₀,z₀) і має направляючий вектор =(α,β,γ). Виберемо на прямій довільну т.М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x-x₀ ,y-y₀ ,z-z₀). Очевидно, що || , тому за теор7 їх координати пропорційні: .                  (42)

Якщо одна із координат направляючого вектора, наприклад, α=0, то (42) можна записати: .

Аналогічно, якщо β=0 або γ=0.

Якщо α=β=0, то отримаємо . Аналогічно для β=γ=0 та α=γ=0.

Відмітимо, що в останньому випадку ми отримали пряму лінію, задану як перетин двох площин, які паралельні до координатних площин.

2.              Рівняння прямої за двома точками

Нехай пряма проходить через точки М₁(x₁,y₁,z₁) і М₂(x₂,y₂,z₂). Тоді вектор = – є направляючим вектором прямої. Скориставшись р-ням (42) отримаємо: .                                         (43)

3.              Параметричні рівняння прямої

Нехай пряма задана точкою М₀ (x₀,y₀,z₀) і направляючим вектором =(α,β,γ). Виберемо ще одну довільну точку прямої М (x,y,z) і розглянемо вектор =(x–x₀,y–y₀,z–z₀). || , тому за теор1 =t . Перейшовши до координат, отримаємо:

x–x₀ = α t ; y–y₀ = β t; z–z₀ = γ t, або:

                                                (44)

4.              Рівняння прямої, заданої як перетин двох площин.

Розглянемо дві площини, задані р-нями α: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 і β: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, причому їх нормальні вектори неколінеарні (умова перетину), отже, коефіцієнти біля змінних в рівняннях площин не пропорційні. Перетин таких площин визначатиме пряму, яку можна задати системою:

,                                    (45)

причому = ( ) є направляючим вектором прямої.

Взаємне розташування двох прямих у просторі

Нехай задано прямі l₁ і l₂, які визначаються відповідно: l₁ точкою M₁ і направляючим вектором ₁, а l₂ точкою M₂ і направляючим вектором ₂.

Прямі у просторі можуть бути розташовані таким чином:

1.Співпадають: Тоді ₁ || ₂ ||  (Колінеарність векторів перевіряємо за теор7, яка стверджує, що у колінеарних векторів координати пропорційні).

2.Паралельні: ₁ || ₂, але не колінеарні з

3.Перетинаються: ₁ не колінеарний з ₂, і вектори ₁ , ₂ і  компланарні. Тоді змішаний добуток векторів ( ₁, ₂, )=0).

4.Мимобіжні: Вектори ₁ , ₂ і  некомпланарні (змішаний добуток ( ₁, ₂, ) не дорівнює нулю).