Пряма лінія в афінній системі координат

Будь-який вектор, відмінний від нуль-вектора, наз. направляючим вектором прямої, якщо він || до даної прямої. Сукупність всіх направляючих векторів конкретної прямої а утворює одновимірний векторний простір.

Пряму лінію на площині в афінній с-мі коор. можна задати точкою і направляючим вектором, або двома точками.

1.Рівняння прямої за точкою і направляючим вектором:

Нехай в афінній с-мі. коор. (О, , ) задано т. М₀(x₀,y₀), та направляючий вектор =(α,β) прямої а (рис.18). Потрібно знайти р-ня прямої а. Виберемо на прямій довільну т.М(x,y). Тоді =(x-x₀, y-y₀); || , отже, їх коор. пропорційні:  = . (23)

Отримане р-ня наз. канонічним рівнянням прямої. Його можна записати = 0                               (23¢)

2. Параметричні рівняння прямої:

Як і в попередньому випадку пряму задано т.М₀(x₀,y₀), та направляючим вектором =(α,β). Для довільної т.М прямої || , за теор.1 = t· . Перейдемо до координат:

x – x₀= t·α, y – y₀= t·β; отримаємо параметричні рівняння прямої:

                      (24)

3. Рівняння прямої за двома точками.

Дано дві точки прямої М₁(x₁,y₁) та М₂(x₂,y₂) (рис.19). Тоді вектор  буде направляючим для прямої М₁М₂. Аналогічно попередньому розг. довільну т.М(x,y) цієї прямої. Тоді = (x₂–x₁, y₂–y₁), =(x–x₁, y–y₁). Так як вектори  і  колінеарні, то за теор7 їх координати пропорційні і отримаємо рівняння прямої за двома точками:

 =                    (25)

4. Рівняння прямої у відрізках на осях.

Нехай пряма а не проходить через початок с-ми коор. Тоді вона перетинає вісі координат у точках А та В, які відповідно мають координати А(а,0), В(0,b) (рис.20). Скориставшись р-ням (25) отримаємо: = , або , bx – ba = – ay ,

bx+ay = ab. Так як а і b не рівні нулю, то розділивши обидві частини рівності на ab, отримаємо рівняння прямої „у відрізках”:

+ =1,                                            (26)де а і b направлені відрізки на осях системи координат (можуть бути і від¢ємними).

5. Р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай в афінній с-мі коор. задана пряма а, яка перетинає вісь ординат і проходить через т.М₀(x₀,y₀), та має направляючий вектор =(α,β) (рис.21).

Число  наз. кутовим коеф. прямої а.

Покажемо, що кутовий коефіцієнт не залежить від вибору направляючого вектора. Нехай пряма а має ще один направляючий вектор ₁= (α₁,β₁). Тоді || ₁ і за теор1 ₁ = t , або в координатах (α₁,β₁)=t(α,β), і , тобто кутовий коефіцієнт не залежить від направляючого вектора. Поділивши обидві частини рівності (23¢) на α отримаємо: y – y₀=k (x – x₀) (27)

Якщо за т.М взяти точку перетину прямої з віссю ординат – В(0,b), то р-ня прямої з кутовим коефіцієнтом приймає вигляд: .  (27¢)

Якщо пряма задана в прямокутній с-мі коор., то кутовий коефіцієнт k має простий геометричний зміст: β = | | sin φ, α = | | cos φ, тому k = tgφ, де φ – кут нахилу прямої до вісі ОX. Отже, k = tgφ дає можливість знаходити кут нахилу прямої до вісі ОX.

6. Загальне рівняння прямої

Всі отримані нами рівняння прямої є р-нями першої степені від двох змінних, тобто їх можна записати загальним рівнянням: Ax+By+C=0.  (28)

Теор14.Рівняння Ax+By+C=0,(де А і В не рівні нулю одночасно) в афінній системі координат на площині визначає пряму лінію. Причому вектор = (–В, А) є направляючим вектором цієї прямої.

Доведення:

Очевидно, що існує т.М(x₀, y₀), координати якої задовольняють р-ня (28). Отже, Аx₀+Вy₀+С=0. Звідси С = – Аx₀ – Вy₀. Підставивши значення С в рівність (28), отримаємо: Аx+Вy–Аx₀–Вy₀=0, або А(x–x₀)+В(y–y₀)=0. Отримали р-ня прямої вигляду (23¢), де координати направляючого вектора α = – В, а β = А. Отже, р-ня (28) визначає пряму, яка проходить через т.М(x₀, y₀) і має направляючий вектор =(–В,А).