Пример расчета цепи методом узловых потенциалов. Метод двух узлов.

Для цепи с двумя узлами 1 и 2 при  по методу узловых потенциалов составляется только одно уравнение, которое приобретает следующий вид:

,

где  и  – ЭДС и проводимости k ветвей, сходящихся в первом узле (включенных между первым и вторым узлами).

В связи с тем, что  и , получаем окончательную формулировку для напряжения  между двумя узлами, а именно:

.

Наиболее часто метод узловых потенциалов используется именно для вычисления напряжения между двумя узлами, получив самостоятельное название – метод двух узлов.

Пример расчета электрических цепей символическим методом

В рассматриваемой цепи, представленной на рис. 3.18: , , R₁= 20 Ом, С₁= 1 мФ, С₂= 0,5 мФ, L₃= 0,05 Гн.

Рис. 3.18

Требуется определить токи в ветвях схемы, построить векторную диаграмму токов и диаграмму напряжений для первой ветви.

Решение.

1. Перевод схемы электрической цепи в область комплексных изображений (рис. 3.19).

Рис. 3.19

Расчет будем вести по комплексным действующим значениям электрических величин. Это значит, что:

;

;

, , .

Одновременно:

;

.

В этой цепи два узла, три ветви, следовательно, три разных тока.

При двух узлах по методу узловых потенциалов составляется одно уравнение. Если потенциал узла 2 принять равным нулю («заземлить»), т.е.  по правилу составления уравнений получаем:

.

Таким образом:

,

т.е. получаем правило составления уравнений по методу двух узлов. Здесь:

;

;

.

Напряжение  между двумя узлами равно:

второй квадрант комплексной плоскости.

Токи в ветвях находятся путем составления уравнений по второму закону Кирхгофа для каждой из ветвей и падения напряжения .

Для первой ветви:

,

т.е.;

четвертый квадрант комплексной плоскости.

Для второй ветви:

третий квадрант комплексной плоскости.

Для третьей ветви:

,

т.е.;

.

Точность расчета можно проверил по первому закону Кирхгофа:

.

4. перевод найденных комплексных действующих значений искомых синусоидальных величин в область оригиналов:

;

;

;

.

5. Построение векторных диаграмм

Векторная диаграмма токов цепи на комплексной плоскости имеет вид (без соблюдения масштабов и точных величин узлов), представленный на рис. 3.20.

Рис. 3.20

Понятно, что здесь .

При построении векторной диаграммы для первой ветви с последовательным соединением R и С за отправной вектор следует принять вектор  и при построении диаграммы в отрыве от комплексной плоскости на чертеже расположить его произвольно (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Понятно, что  совпадает по фазе с током, а напряжение на емкости С₁  отстает от  на угол j = y_u – y_i = –90°.

Аналогично строится векторная диаграмма второй и третьей ветвей. При этом ток во второй ветви опережает напряжение  на 90°, а ток третьей ветви отстает от напряжения  на угол j₃ = y_u12 – y_i3 = –68°.