Законы Кирхгофа при расчете электрических цепей

Законы Кирхгофа составляют фундамент всех расчетов электрических цепей, поскольку на их основе легко составляется полная система независимых уравнений, исчерпывающе описывающая электроэнергетическое состояние (равновесие) любой электрической цепи, как правило, неизвестными во всех таких расчетах являются токи как носители электрической энергии в цепи.

Поскольку в пределах одной ветви имеет место только один ток, количество неизвестных токов совпадает с количеством ветвей в цепи.

Первый закон Кирхгофа относится к токам в ветвях цепи и является следствием фундаментального принципа непрерывности линии тока. Поскольку электрические токи могут измеряться только в узлах, этот закон относится к узлам, фиксируя, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю.

Речь здесь идет об электрических токах любых форм: постоянный, синусоидальный, импульсивный и др. Значит, для любого узла k электрической цепи:

.

В случае синусоидальных форм кривых токов, поскольку сложению синусоид соответствует сложение комплексных чисел изображающих эти синусоиды, Первый закон Кирхгофа приобретает вид:

или .

По сути, это является комплексной формой Первого закона. Как правило, при алгебраическом сложении токов положительными считают токи, направленные к узлу, а отрицательными – направленные от узла. Поскольку в систему уравнений электрического равновесия могут включаться только независимые уравнения, количество уравнений по первому закону всегда на единицу меньше, чем узлов в цепи, ибо последнее уравнение всегда является следствием всех остальных.

Второй закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям.

Мерой электрической энергии в каждой точке электрической цепи является как известно электрический потенциал. Понятно, что при любом замкнутом обходе цепи по ветвям через узлы количество повышений потенциалов во всех элементах обхода суммарно во всех случаях должно быть равно количеству понижений потенциалов. Это и приводит к повсеместно принятой формулировке второго закона, а именно: при замкнутом обходе по ветвям любого контура электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС в нем равна алгебраической сумме падений напряжения, т.е.  или в комплексной форме , как и .

Направление обхода контура может выбираться произвольно, но, как правило, – по часовой стрелке.

При этом, если ЭДС и падения напряжения совпадают с обходом, им в уравнениях приписывается знак «плюс», если не совпадают – «минус». Направления ЭДС всегда известны и обозначаются стрелкой, а направления падения напряжения на любом элементе всегда совпадают с направлением тока в нем.

Что касается направлений неизвестных токов в ветвях схемы, оно выбирается произвольно, поскольку синусоидальный ток как синусоидальная функция устойчивого направления не имеет.

Произвольно выбираемое направление синусоидального тока в ветви в связи с этим называют условно положительным и не привносит никаких неудобств или ошибок при расчетах и анализе электрических цепей.

Законы Кирхгофа обладают удивительным универсальным свойством, а именно:

– в цепях постоянного тока, ошибочно выбранные направления приводят к отрицательным значениям соответствующих токов, и это означает, что истинное направление таких токов противоположно;

– поскольку отрицательных синусоид не бывает, а знак «минус» перед синусом легко переносится в его фазу , ошибочных направлений токов при расчете цепей синусоидального тока тоже не бывает. Выбранное направление тока расчетом автоматически учитывается формированием начальной фазы соответствующей синусоиды.

Итак, если в электрической цепи p ветвей и q узлов, то система уравнений для расчета такой цепи должна состоять из р уравнений.

По первому закону (он проще) составляется максимально возможное количество уравнений, т.е. (q – 1). Тогда по второму закону необходимо составить [р – (q – 1)] = (р – q + 1) уравнений.

Доказывается, что в любой электрической цепи количество ячеечных контуров всегда равно [р – (q – 1)], т.е. количеству независимых уравнений, которые должны быть составлены по второму закону Кирхгофа. Поскольку ячеечные контуры к тому же обычно короче других, рекомендуется уравнения по второму закону Кирхгофа составлять именно для ячеечных контуров, что гарантирует их независимость.

При этом следует отметить, что для расчета сложных цепей законы Кирхгофа обычно не используются, поскольку другие методы расчета (контурные токи, узловые потенциалы) оказываются более экономными. Однако, эти законы – в основе всей теории электрических цепей, поэтому не просто знание, но полное понимание ривической сущности и смысла этих законов, является абсолютно необходимым.