Пример расчета электрических цепей методом эквивалентных преобразований

Состав и логика («дорожная карта»)при расчете цепи с любой конфигурации методом эквивалентных преобразований в символической форме рассматривается на примере простейшей параллельно- последовательной цепи, представленной на рис. 46

Рис.  

Здесь: В, Гц, Ом, L₁ = 9,55 Гн, R₂ = 20 Ом, L₂ = 20 · 10^-3Гн, R₃ = 15 Ом, С₃ = 2 · 10^-4 Ф

Требуется определить:

- токи в каждой ветви;

- падение напряжения на всех элементах цепи;

- вычислите показания приборов pv, pv₂, pA, pW;

- построить векторные диаграммы каждого приемника и цепи, в целом.

Порядок, принципы и логика расчета

1. Перевод исследуемой цепи в символическую форму.

Поскольку измерительные приборы на работу цепи никакого влияния не оказывают, при расчете они могут быть удалены из схемы. Цепь состоит из трех ячеичных контуров. При переводе в комплексную форму и структура, и состав цепи, остаются низменными. При этом можно считать, что в одной ветви находится один приемник электрической энергии. Таким образом, цепь рис. приобретает вид рис.  

Рис.

Расчет будет проводить по действующим значением токов и напряжений.

Поскольку речь идет о цепи синусоидального тока (частота f = 50 Гц), величина U = 120 в есть действующее значение напряжения синусоиды на входе цепи. Значит, собственно входное напряжение есть

.

В связи с тем, что в цепи не задана начальная фаза ни одной синусоиды, начальную фазу входного напряжения принимаем за «ноль», т.е. .

Это значит, что комплексное действующее значение входного напряжения равно .

Понятно, что искомые токи в цепи будут тоже синусоидальными, т.е.

Естественно, синусоидальными будут и напряжения на всех ветвях с комплексными действующими значениями ,  и .

Комплексные изображения сопротивлений приемников, включенных в каждую ветвь, будут следующими:

,

Ом. Значит

. Соответственно

.

На этом перевод цепи в символическую форму закончен и полученная электрическая цепь может быть рассчитана, как обычная цепь постоянного тока.

2. Расчет цепи

Поскольку в цепи только один источник электрической энергии, оптимальным для расчета будет метод эквивалентных преобразований. Легко видите, что рассматриваемая цепь по отношению к источнику представляет из себя пассивный двухполюсник, который как известно, всегда может быть приведен к цепи с одним эквивалентным приемником энергии.

Первый этап. Приведение цепи к простейшей с одним эквивалентным приемником (рис. ) путем эквивалетных преобразований участка.

Понятно, что преобразования нужно начинать с простейшего приведения последовательно включенных приемников к одному. В нашей цепи нет ни одной пары сопротивлений, включенных последовательно, т.к. между любыми двумя есть узел, т.е. они находятся в разных ветвях.

Рис.

В то же время сопротивления Z₂ и Z₃ соединены параллельно, поскольку подключены к одной и той же паре узлов (c и d).

При приведении параллельных приемников к одному эквивалентному складываются их проводимости, которые равны

, т.е. g₂ = 0,0455 Cм, b₂ = 0,0143См.

 и g₃ = 0,0315 Cм, b₃ = 0,0143См.

Как уже было отмечено, при переходе от комплексного сопротивления ветви к комплексной проводимости знаки у реактивных составляющих Z и Y меняются на противоположные, что не изменяет характера (индуктивный, емкостный) ветви.

Проводимость параллельных ветвей равна

«Плюс» перед мнимой частью здесь означает, что обе ветви вместе носят емкостный характер, что подтверждается при переводе эквивалентной проводимости двух параллельных ветвей в эквивалентное сопротивление

Таким образом, приходим к схеме рис. с двумя последовательно включёнными приемниками Z₁ и Z₂₃

Рис.

После их приведения к одному эквивалентному, получаем цепь вида рис. , где

Отсутствие в составе любого сопротивления участка цепи или цепи в целом, реактивной составляющей, несмотря на наличие в них реактивных сопротивлений, означает что в этой цепи (участке) положительные индуктивные сопротивления компенсируются отрицательными емкостными, т.е. .  Такое явление называется резонансом.

Второй этап расчета. На этом этапе определяются искомые токи и напряжения во вех эквивалетных схемах поэтапно от простейшей (рис. ) к исходной (рис.  ).

Цепь рис. рассчитывается с помощью закона Ома с определением входного тока .

Это значит, что , т.е. ток и напряжение на вход по фазе совпадают. Это является признаком резонанса в цепи.

Теперь переходим к следующей схеме (рис.  ) с переносом в нее найденного тока и вычислением падений напряжений в ней.

, т.е. напряжение  отстаёт от создаваемого его тока  на угол  (  носит системный характер).

.

Как следует ожидать, напряжение  создаваемое токами , опережает этот ток на угол , поскольку  имеет индуктивный характер.

Далее переходят к исходной схеме цепи (рис. 46) с переносом в нее найденных токов и напряжений. Здесь легко определяются токи  и :

Таким образом, ток в ветви с индуктивностью отстает от создаваемого им напряжения на угол

Ток в ветви с емкостью опережает напряжение на угол

Некоторое отличие  и друг от друга на 0,6⁰ объясняется погрешностью расчетов. Конечно, при резонансе  =

Расчет напряжений на элементах каждой ветви

Первая ветвь (рис. )

Рис.

Напряжение на R₁ совпадает по фазе с токами, т.е. .Напряжение на L₁ опережает ток на угол .

Векторная диаграмма для этой ветви представлена на рис. . Сдвиг по фазе между напряжением на ветви  и током в ней .

Рис. 

Ток здесь отстает от напряжения, т.к. ветвь носит индуктивный характер.

Вторая ветвь (рис. )

Рис. 52

Ветвь носит индуктивный характер, ток  отстает от напряжения  на угол

Третья ветвь (рис. )

Рис.

Здесь

Ветвь имеет емкостный характер, от напряжения  отстает от тока на угол 90⁰, ток  опережает .

Векторная диаграмма третьей ветви представлена на рис.

Рис.

Полная диаграмма напряжений , ,  и токов ,  и  представлена на рис. (диаграмма построена без соблюдения масштабов).

Диаграмма строится на комплексной плоскости, ось вещественных (+1) которой направлена вертикально вверх.

Рис.

С тем, чтобы не затемнять чертеж, векторные диаграммы ветвей в общую диаграмму не вписаны.

Векторная диаграмма построена в соответствии с тем, что

(первый закон Кирхгофа) и

 (второй закон Кирхгофа)