Пример расчета цепи методом контурных токов

В электрической цепи, представленной на рис. 3.15, L₁ = 0,03 Гн, С₁ = 2500 мкФ, R₂ = 1 Ом, R₃ = 1 Ом, L₃ = 50 мГн, С₃ = 2,5 мФ, , , w = 100 р/с. необходимо определить токи i₁(t), i₂(t) и i₃(t).

Рис. 3.15

Решение.

1. Заданная электрическая цепь переводится в область комплексных изображений (см. рис. 3.16).

Рис. 3.16

;

z₁ = j(x_L1 – x_C1) = j(100 × 0,03 – 1/100 × 2500 × 10^–6) = j(3 – 4) = –j;

z₂ = R₂ =1;

z₃ = R₃ + j(x_L3 – x_C3) = 1 + j(100 × 50×10^–3 – 1/100 × 2,5 × 10^–3) = 1 + j(5 – 4) = 1+j;

.

2. Система уравнений по методу контурных токов для любой двухконтурной цепи.

Применительно к цепи на рис. 3.16.

z₁₁ = z₁ + z₂ = –j + 1;

z₁₂ = z₂ = 1;

z₂₁ = z₁₂ = 1;

z₂₂ = z₂ + z₃ = 1 + (1 + j) = 2 + j.

3. Решение системы уравнений с помощью определителей.

;

;

.

Таким образом, контурные точки равны:

,

.

4. Определяем токи в ветвях схемы.

,

,

.

5. Переходим в область оригиналов.

,

,

.

Метод узловых потенциалов

Сумма уравнений, составляемая по законам Кирхгофа для расчета электрических цепей, формируется для токов в ветвях, следовательно, требует составления такого количества уравнений, сколько в цепи ветвей.

Метод контурных токов предусматривает составление уравнений для ячеечных контуров, количество которых и определяет количество уравнений в системе.

Уравнения по методу узловых потенциалов составляются для потенциалов узлов цепи. Поскольку одному из всех k узлов цепи может быть приписано значение «ноль», количество уравнений при расчете цепи этим методом всегда на единицу меньше, чем узлов, т.е. (k –1).

Обоснование правила составления уравнений по методу узловых потенциалов детально рассматривается во всех учебниках по ТОЭ и теории цепей. Это правило сводится к следующему.

1. Левая часть уравнения для каждого (k –1) узлов представляет собой алгебраическую сумму произведений ЭДС  каждой k-той ветви, образующей узел k, на проводимость этой ветви  (Z_k – полное сопротивление k-той ветви), т.е. . При составлении этой (алгебраической) суммы исходят из того, что если ЭДС k-той ветви направлена в сторону узла k, для которого составляется уравнение, произведение  положительно. В противном случае – отрицательно.

2. Правая часть уравнения состоит из двух видов слагаемых. Первое (всегда положительное) представляет собой произведение потенциала , узла для которого составляется уравнение, на сумму проводимостей Y_k составляющих этот узел ветвей, т.е. , где .

Второй вид слагаемых (всегда отрицательны) представляет собой произведение потенциала каждого соседнего (сопряженного через общую ветвь) узла  на проводимость этой сопряженной ветви km, т.е. . Понятно, что таких (отрицательных) слагаемых в уравнении для узла k столько, сколько в цепи ветвей m, сопряженных с узлом k, т.е. .

Таким образом, окончательная форма уравнения для каждого k-того узла схемы выглядит следующим образом:

.

Здесь, внешне – полная аналогия с правилом составления уравнений по методу контурных токов.

Например, для расчета цепи (см. рис. 3.14), содержащей четыре узла, составляются три уравнения. Полагая, например, , имеем следующее:

– Первый узел (входят ветви 1, 2, 5).

Произведение  здесь отсутствует, т.к. . В этом уравнении:

, , ,

Y₁₂ = Y₂₁    и Y₁₃ = Y₃₁, т.к.

Z₁ = Z₁₃ = Z₃₁, Z₂ = Z₁₂ = Z₂₁,

Z₃ = Z₃₂ = Z₂₃, Z₄ = Z₁₄ = Z₄₁,

Z₅ = Z₁₄ = Z₄₁, Z₆ = Z₂₄ = Z₄₂.

– Второй узел (входят ветви 2, 3, 6). Ни одна из ветвей не содержит ЭДС, поэтому:

.

– Третий узел (входят ветви 1, 3, 4):

.

Решая соответствующую систему уравнений, при известном  находим . Понятно, что конечной целью расчета, как правило, являются токи в ветвях.

Ток в любой ветви легко находится по второму закону Кирхгофа для контура, включающего одну ветвь с неизвестным током и падение напряжения между узлами, к которым эта ветвь подключена.

Например, для тока  в первой ветви (рис. 3.17) необходимо составить уравнение : , где .

Рис. 3.17

В ветвях, где нет ЭДС, токи находятся по закону Ома. На пример, ток в ветви с Z₃ между узлами 2 и 3:

.