Часть IV. Резонансы и магнитные связи в электрических цепях

Рассмотренные в первых трех частях пособия физические основы и общая теория электрических цепей является фундаментом как для понимания принципов функционирования линейных электрических цепей или электротехнических устройств любой конфигурации и назначения, так и для формирования частной теории, учитывающей специфику их работы.

В рамках теоретических основ электротехники отдельно рассматриваются, например, теория трехфазных электрических цепей, теория четырехполосников, теория линий с распределенными параметрами и т.п.

Однако, в основе каждой из них лежат рассмотренные общие физические основы и принципы электромагнитных процессов в элементах этих цепей и цепях в целом, формируемые законами Джоуля-Ленца, Фарадея, Ампера, Ома и Кирхгофа и обусловленные этими законами методы расчетов (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и др).

Осознанное понимание общей теории и приобретенная способность ее практического использования позволяют сравнительно легко при необходимости самостоятельно освоить любую частную теорию цепей, систем и устройств.

В качестве примера далее рассматриваются два имеющих чрезвычайно важное практическое значение в электроэнергетике и электротехнике раздела ТОЭ - резонансные явления и магнитные связи в электрических цепях.

Резонансные явления в электрических цепях

Общие положения

Любой приемник электрической энергии, как известно, всегда может быть представлен в виде пассивного двухполюсника, в общем случае содержащего и активные сопротивления, и индуктивности, и емкости. Основными характеристиками, описывающими режим работы такого двухполюсника (Рис. 76), являются входное напряжение , входной ток  и входная (потребляемая) мощность

Рис. 76

Следствием этих характеристик, в значительной степени полно описывающих режим работы двухполюсника, являет фазовое соотношение между входными напряжением и током, т.е. сдвиг по фазе между ними:

 (см. Треугольник мощностей).

Ранее детально были рассмотрены два возможных принципиально разных режима работы двухполюсника.

Двухполюсник «носит» индуктивный характер. В этом случае ,  и ток отстает по фазе от напряжения.

Двухполюсник носит емкостный характер. В этом случае ,  и ток опережает по фазе напряжение.

Это - основные в рамках электроэнергетики режимы работы приемников (цепи, в целом).

Тем не менее довольно часто в электроэнергетических системах, а в системах радиосвязи и телекоммуникации повсеместно, приходится иметь дело с третьим режимом работы цепи, когда, несмотря на наличие в ней индуктивностей, и емкостей, со стороны входа она воспринимается как чисто активное сопротивление.

Такой режим работы цепи и называется резонансным (смысл названия будет пояснен позднее).

В этом случае:

,

Т.е. входные напряжение и ток по фазе совпадают (рис. 77)

Рис. 77

Условие = 0, при наличии в цепи (участке цепи) индуктивностей и емкостей является основным для существования резонанса.

Понятно, что в этом случае реактивная мощность на входе , т.е. и цепь от источника «потребляет» только активную мощность. При этом в индуктивных элементах двухполюсника имеет место индуктивная мощность , а в емкостных - емкостная мощность . Своеобразие режима состоит в том, что имеющие противоположные реактивные знаки мощности компенсируют друг друга. Поэтому режим резонанса часто называют режимом компенсации реактивной мощности.

Как было отмечено ранее, любой пассивный двухполюсник с помощью эквивалентных преобразований всегда может быть приведен к двум эквивалентным схемам - последовательное и параллельное соединение идеальных . В связи с этим рассматриваются два типа резонансов.

Резонанс напряжений

Резонанс напряжений имеет место в цепи с последовательным соединением  и  (рис. 78).

Рис. 78

При  такая цепь имеет индуктивный характер, при  - емкостный. Естественно, в этой цепи может иметь место резонанс, основным условием которого является .

В нашем случае это условие имеет продолжение (см. Треугольники напряжений и сопротивлений), а именно . Это значит, что  и , что в свою очередь приводит к необходимому и достаточному условию резонанса напряжений в цепи, т.е.  и . Кроме того, с учетом , а , получаем еще одно условие резонанса, а именно .

Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением R,  и С при резонансе представлена на рис. 79

Рис. 79

в соответствии с тем, что  и  синусоиды  и в режиме резонанса находятся в противофазе, т.к.  опережает ток на 90⁰, т.е. , а  - отстает от этого тока на 90⁰, т.е. , что и приводит к сдвигу по фазе между ними  (рис. 80).

Рис. 80

Находящиеся в противофазе синусоиды в каждый момент времени компенсируют друг друга, резонируют (отсюда - резонанс).

Важнейшим следствием резонанса является то, что питающая напряжение при резонансе равно напряжению на активном сопротивлении.

В некотором смысле можно считать, что связи с ; реактивное сопротивление в работе цепи в режиме резонанса не участвует. Это может привести к тому, что напряжение на индуктивности и емкости  и  при  оказывается больше питающего напряжения . В таком случае в цепи возникают перенапряжения, которые могут быть значительными и представлять опасность для работы цепи и обслуживающего персонала.

Из того, что  следует, что резонансный режим может быть достигнут тремя путями:

- при неизменных L и С резонанс наступает при частоте , называемый резонансной.

- при неизменной частоте и индуктивности, резонанс досттгается при резонансной емкости ;

- наконец, при  и , резонанс наступает при резонансной индуктивности .

Отношение при резонансе  к , т.е.

 называется добротностью контура с последовательным соединением R, L, C, а величина, обратная добротности  - называется затуханием.

При этом  и .

Величина  имеющая размерность сопротивления называется волновым сопротивлением  контура.

Очень часто исследование резонанса напряжений сопровождается исследованием частотных характеристик, к которым относятся  и . Соответствующие кривые приведены на рис. 81.

Рис. 81

Ясно, что  от частоты не зависит, - прямо пропорционально частоте, - обратно пропорционально частоте,  строится простым алгебраическим сложением (вычитанием) двух функций, а легко строится по  и .

Что касается фазово-частотной характеристики  она плавно изменяется от  до , изменяя свой знак при  в связи с тем, что здесь х изменяет свой знак от .

Принципиальным является то, что при резонансе  является минимальной величиной, равной активному сопротивлению.

Зависимости действующих значений  при  называются резонансными кривыми.

Наибольший интерес из них представляет зависимость , представленная на рис. 82.

Рис. 82

При (постоянное напряжение) ток равен нулю, т.к. конденсатор на постоянном токе - разрыв цепи.

При  ток устремляется к нулю, т.к. сопротивление индуктивности при  есть разрыв цепи, т.е. .

При резонансной частоте ток становится максимальным, поскольку  минимально. При этом форма кривой существенно зависит от добротности и, чем меньше она, тем более «раздутой» оказывается колокольная форма кривой тока. На рис. 82 . Такая зависимость  лежит в основе конструирования частотных электрических фильтров, служащих для выделения из суммы токов разных частот ток нужной частоты.

Резонанс токов

Любая сложная электрическая цепь (или участок цепи) может быть приведена к эквивалентному параллельному соединению идеальных R, L и С (рис. 83). в этом случае удобнее оперировать не с сопротивлениями R,  и , а с их идеальными проводимостями: активный , индуктивный  и емкостный . Полная (кажущаяся) проводимость в этом случае равна .

Рис. 83.

Логика и смысл дальнейших действий при исследовании резонанса токов полностью совпадает с действиями при исследовании резонанса напряжений и приводят к одному и тому же результату: .

Сдвиг по фазе между входным напряжением  и входным током в параллельной цепи, как известно, равен , что следует из треугольников действующих значений токов и проводимостей и означает, что  и , что в свою очередь приводит к необходимому и достаточному условию резонанса токов в цепи, т.е.  или  и , а с учетом зависимостей  и  к общему для резонансов условию:

Векторная диаграмма тока для этой цепи имеет вид рис. 84 с учетом того, что  и ,  и . Понятно, что  и входные ток и напряжение по фазе совпадают.

Рис. 84

Ток в ветви с индуктивностью здесь находится ы противофазе с током в емкости, т.е.   и компенсируют друг друга (резонируют). Резонирующий контур «L-C» не нуждается в поступлении энергии от источника, представляет из себя идеальный колебательный контур, детально исследованный в курсе физики.

Добротность цепи в режиме резонанса равна  = , затухание , а волновая проводимость .

Общий ток в такой цепи при резонансе равен току в ветви с активной проводимостью. Частотными в этом случае характеристиками цепи , , , ,  и , соответственно равные , ,  = , , и .

Легко видеть, что это - те же частотные характеристики, что и в случае последовательного соединения R, L, C, если сопротивления поменять на проводимости, индуктивности - на емкости, емкости - на индуктивности. Такие цепи называются дуальными. То же самое в дуальных цепях относится и к резонансным кривым, если параллельную цепь питать не от источника напряжения, а от источника тока, а питание напряжения на элементах поменять на токи в них.

Итак, при резонансе токов резонируют тока, а точнее - реактивные составляющие токов  в параллельных ветвях.

При равенстве величин реактивных составляющих ветви с емкостью и ветви с индуктивностью  (рис. _____) т.е. при любой из токов ветви с емкостью (  и др.) будет резонировать с любым из током (  и др.) ветви с индуктивностью.

Рис.

4.1.4. Проблема «Cos φ»

Идея компенсации реактивной мощности, о которой и говорится при исследовании резонансов, имеет исключительно важное значение в электроэнергетических системах и сетях, как раз и позволяя решить проблему «Cos φ». Суть этой проблемы состоит в следующем. На рис. 86 представлена схема электрической цепи, в упрощенном виде моделирующая систему передачи электрической энергии от генератора (Г) к нагрузке (Н) по линии перелачи (Л).

Рис. 86

Здесь R_Л - активное сопротивление проводов линий (индуктивная и емкостная составляющие не рассматриваются), R_H и х_LH - параметры нагрузки. В связи с тем, что практически все виды нагрузок в электроэнергетических системах имеют индуктивный характер (двигатели, трансформаторы и т.п.), емкостными составляющими пренебрегают из-за их малости. В связи с этим векторная диаграмма на стороне нагрузки имеет вид рис. 87.

Рис. 87

Будем считать, что речь идет просто об электрическом двигателе. В паспорте любого двигателя указываются величины потребляемой двигателем в номинальном режиме работы номинальной мощности Р_Н , номинального питающего напряжения , номинального коэффициента мощности и номинального тока . Именно при этом режиме работа двигателя оказывается наиболее эффективной. Потребляемый при этом двигателем ток  вырабатывается генератором и по линии передачи поставляется потребителю, нагружая этим током генератор и нагревая провода линии через сопротивление R_Л и удаляя электрическую энергию в окружающее пространство (потери). Работать эффективно при другом токе двигатель просто не может..

В то же время затребованная потребителем соответствующая этому току мощность

Это означает, что для выполнения требуемой потребителю работы, по идее, достаточно только активной составляющей тока . Например, номинальная мощность асинхронного двигателя А2-91-4 равна Р_Н = 75 квт, при , В и . Генератор при этом нагружается током 193 А, провода линии электропередачи греются именно этим током  при том, что для выполнения производственной программы достаточно было бы получить от генератора только А.

Величина не участвующей в выполнении этой программы реактивной составляющей потребляемого общего тока (треугольник токов) равна

А

Реактивная составляющая тока формирует реактивную мощность (треугольник мощностей) = 38,4 ВА.

Эта мощность «бесполезно» «курсирует» между генератором и нагрузкой, нагружая сеть и не выполняя какой-либо полезной работы.

В этом и состоит проблема «Cos φ». Включение параллельно с индуктивной нагрузкой емкости при сохранении в двигателе , ,  и сos φ_Н позволяет существенно уменьшить ток в линии I_Л и следовательно, ток в генераторе  вплоть до полной компенсации реактивной составляющей тока и реактивной мощности в сети при резонансе. Схема такой цепи и векторная диаграмма для случая резонанса представлены на рис. 88 (а, b)

Рис. 88

В этом случае ток в линии и генераторе равен  - только активному току нагрузки. Реактивная индуктивная мощность нагрузки, оставаясь прежней, шунтируется емкостью с непрерывным колебанием  и  в замкнутом контуре , освобождая генератор.

На практике при подборе емкости для компенсации реактивной мощности нагрузок полной компенсации резонанса стараются избегать, приводя работу цепи к околорезонансной. Это позволяет в связи с изменением параметров рабочего режима исключить вероятность возможной перекомпенсации при превышении реактивной составляющей емкостного тока реактивной составляющей тока нагрузки.