Преобразование «звезды» сопротивлений в «треугольник» и обратные преобразования

К такому преобразованию приходится обращаться, если в цепи нет ни параллельно, ни последовательно включённых сопротивлений. В таком преобразовании участвуют три сопротивления. При этом преобразование звезды сопротивлений в треугольника или треугольника - в звезду приводит к появлению в цепи последовательно или параллельно включённых сопротивлений, что позволяет в конечном счёте методом эквивалентных преобразований рассчитать любую электрическую цепь с одним источником.

При соединении по схеме «звезда» один из двух зажимов каждого сопротивления объединяется в один узел «n». Вторые зажимы подключаются к тем или иным узлам (точкам) электрической цепи.

На рис. _____ представлены некоторые варианты таких соединений.

Рис. 

При соединении сопротивлений по схеме «треугольник» зажимы приемников последовательно соединяются между собою, образуя три угла - А, В, С - вершины треугольника.

На рис. представлены соединения трех сопротивлений по схеме «треугольник».

Рис.

Формулы для взаимного преобразования сопротивлений, соединённых по схемам «звезда» и «треугольник» предельно просты, доказываются во всех учебниках по теории электрических цепей и выглядят следующим образом:

- при преобразовании «звезды» сопротивлений (z_A, z_B и z_C известны) в «треугольнике»:

- при преобразовании «треугольника» сопротивлений z_AВ, z_BС и z_CА в «звезду» _:

Принципы и логика расчета цепей с помощью эквивалентных преобразований «звезда-треугольник» иллюстрируется примером расчета (без вычислений) цепи рис. 

Рис.

В этой цепи нет ни одной пары сопротивлений, соединённых последовательно, и ни одной - параллельно. Значит, необходимо искать звезды и треугольники. Здесь три звезды, которые исходят из точек А, В, и D, и два треугольника  и .

Если звезду ВА, ВD, ВС преобразовать в эквивалентный треугольник, получаем схему рис.  

Рис.

При этом .

В этом случае в цепи появляются две пары параллельных сопротивлений: Z_AD и Z₅ и Z_DС и Z₆.

Приведя каждую из них к одному эквивалентному, получаем схему рис. 

Рис.

Понятно, что точка D перестала быть узлом, и BDC - стала одной ветвью с двумя последовательно включёнными сопротивлениями Z_5AD и Z_5DC.

Рис.

Приведя их к одному эквивалентному Z_D = Z_5AD + Z_6DC , получаем схему рис. , которая легко рассчитывается как рассмотренная ранее параллельно-последовательная цепь с определением токов ,  и .

Переходя все промежуточные схемы в обратном порядке, определяют токи в ветвях исходной цепи: , ,

,  (рис.    );

,  (рис.  );

,

,  (рис.  )

, ,

 (рис.  ).