Идеальная катушка индуктивности в цепях синусоидального тока

Здесь речь идет о катушке индуктивности, не обладающей ни активным сопротивлением, ни емкостью (в реальной ситуации ими пренебрегают из-за их малости). В электрических схемах такие катушки представляются рис. 2.12.

Рис. .2.12

Взаимосвязь между напряжением u(t) и током i(t) в такой катушке определяется законом Фарадея, т.е.:

и

.

В случае синусоидальной формы напряжения  имеем:

Это означает, что:

1. При синусоидальном напряжении на зажимах катушки ток в ней оказывается синусоидальным, т.е.  и задача сводится к определению I_m, w и y_i.

2. Амплитуда тока I_m связана с амплитудой напряжения формулой внешне совпадающей с законом Ома, т.е.:

или .

Понятно, что эти формулы справедливы и для действующих значений.

3. Совпадение этих формул с законом Ома усиливается, если учесть, что размерность величины wL имеет размерность сопротивления [1/сек×Гн = Ом].

Эта величина с физической точки зрения, не являясь сопротивлением, названа, тем не менее, сопротивлением с обязательным сопровождением «реактивное индуктивное», обозначаемое х_L = wL = 2pfL [Ом]. Здесь и далее х – малая, прописная буква «икс».

Ясно, что на постоянном токе (напряжении) при w = 0 и f = 0 индуктивное сопротивление катушки равно нулю. Участок с индуктивностью в этом случае представляет собой простой проводник без какого-либо сопротивления, т.е. короткое замыкание. Поэтому при расчете цепей постоянного тока индуктивность не рассматривается.

И только в случае, когда ток начинает изменяться, в соответствии с Фарадеем в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции , препятствующая изменению тока, т.е. ведущая себя как сопротивление. Именно поэтому величина х_L = wL , являющаясямерой ЭДС индукции и учитывающая реакцию катушки на изменение тока и называется реактивным сопротивлением. При неизменной частоте (установившийся ток) f = const сопротивление х_L = const, но изменяется при изменении f.

Величина, обратная реактивному сопротивлению b_L = 1/х_L [1/Ом = См], называется реактивной индуктивной проводимостью катушки.

4. Частота тока совпадает с частотой питающего напряжения.

5. Сдвиг по фазе между напряжением и током равен j = y_u – y_i = 90°, т.е. ток в идеальной катушке индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90° (p/2), что является признаком индуктивности.

Полученные зависимости между амплитудами (действующими значениями), частотами и начальными фазами в соответствии с п.п. 1, 2, 3, 4 позволяют легко рассчитывать цепь (участок цепи) с идеальной индуктивностью, не прибегая к интегрированию или дифференцированию:

и

.

Если цепь с идеальной индуктивностью перенести в область комплексных изображений, реальные синусоиды напряжения и тока переводятся в их комплексные амплитуды или действующие значения:

и

.

В соответствии с правилами математических действий над оригиналами и их комплексными изображениями связь между током в индуктивности i(t) и напряжением на ее зажимах u_L(t), а именно:

,

превращается в обычную алгебраическую зависимость:

.

Здесь x_L = wL – полученное ранее значение индуктивного реактивного сопротивления катушки. Множитель X_L = jx_L является комплексным сопротивлением катушки. Здесь и далее Х – большая, заглавная буква «икс».

Выражение , как и в случае резистора внешне полностью совпадает с законом Ома и часто называется законом Ома для катушки индуктивности в комплексной форме.

Таким образом, при  и комплексном реактивном индуктивном сопротивлении  комплексное действующее значение тока:

,

где y_i = y_u – 90°.

Этому комплексному действующему значению тока соответствует синусоида , при j = y_u – y_i = 90°. Ток отстает по фазе от напряжения на угол 90° (p/2).

Векторная диаграмма катушки индуктивности на комплексной плоскости представлена на рис. 2.13,а.

а)                                                                  b)

Рис. 2.13

Комплексное изображение идеальной катушки представлено на рис. 2.13,b, это означает, что идеальная индуктивность в области оригиналов х₂ = wL в области комплексных изображений представляется как .