Обобщенный приемник электрической энергии в цепях синусоидального тока

Как уже было отмечено, любой приемник электрической энергии, независимо от его конструктивного исполнения и назначения, с точки зрения теории электрических цепей всегда может быть представлен электрической моделью в виде того или иного набора идеальных R, L и С, в конечном счете – в виде эквивалентного пассивного двухполюсника с последовательным или параллельным соединением этих элементов. В этом смысле последовательные или параллельные соединения R, L и С можно считать обобщенным приемником электрической энергии.

Последовательные соединения R, L и С. Электрическая схема такого приемника представлена на рис. 2.16.

Рис. 2.16

Понятно, что u(t) = u_R(t) +u_L(t) + u_C(t). При этом u_R(t) = i(t) × R,  и . Таким образом, итоговое уравнение электрического равновесия этой цепи:

.

Это означает, что при синусоидальном питающем напряжении, ток в цепи и напряжения на всех ее элементах – синусоиды одной и той же частоты.

Если рассматриваемую цепь перевести в область комплексных изображений, получим цепь, представленную на рис. 2.17.

Рис. 2.17

Понятно, что в этой цепи:

и             

,

а           

В соответствии с тем, что сложению синусоид u_R(t), u_L(t), u_C(t) соответствует сложению их комплексных изображений, с учетом второго закона Кирхгофа и закона Ома в комплексной форме получаем:

Здесь  называют полным сопротивлением приемника. В его составе z (малая прописная буква «зет») – модуль (величина) комплексного полного сопротивления Z (большая заглавная буква «зет», иногда обозначаемая Z).

Перевод показательной формы записи Z в алгебраическую форму приводит к тому, что:

– модуль (величина) комплексного полного сопротивления Z равен  и называется просто полным (или кажущимся) сопротивлением приемника, а:

– аргумент Z, т.е. угол , как будет показано, равен , т.е. разности фаз (сдвиг по фазе) между напряжением и током приемника. Он может быть положительным (x > 0) при x_L > x_C (в цепи преобладает индуктивность, приемник имеет индуктивный характер) и отрицательным (x < 0) при x_L < x_C (в цепи преобладает емкость, приемник носит емкостной характер).

Величину z называют кажущимся сопротивлением потому, что в его составе наряду с сопротивлением R входит величина х, только условно называемая сопротивлением.

Таким образом, связь между комплексными действующими значениями (или амплитудами) напряжения и тока обобщенного приемника электрической энергии внешне совпадает с законом Ома, что позволяет выражения  и  считать законом Ома в комплексной форме.

Учитывая, что при:

 ® ,

а при:

 ® ,

получаем:

.

Это значит, что  [Ом], а  есть сдвиг по фазе между напряжением и током, т.е. . При этом:

– если x_u > x_i , что соответствует тому, что j > 0 и x_L > 0, в цепи преобладает индуктивность;

– если x_u < x_i , т.е. j < 0, значит x < 0, т.е. в цепи преобладает емкость.

В области оригиналов связь между действующими значениями (величинами) напряжения U и тока I или амплитудами U_m и I_m определяется подобием закона Ома, т.е.  и , а .

Это позволяет рассчитывать обобщенный приемник без использования комплексных изображений.

Легко видеть, что все полученные зависимости для расчета последовательного соединения R, L и С являются общими и применимыми для расчета каждого из этих элементов в отдельности, поскольку при идеальном активном сопротивлении, когда х_L= 0 и х_С = 0 сопротивление , а , для идеальной индуктивности Z = jx_L и , а для емкости z = x_С и .

Алгоритм расчета обобщенного приемника без использования комплексных изображений состоит в следующем:

1. При известном синусоидальном напряжении  на зажимах приемника искомый ток будет синусоидальным, т.е. .

Значит, целью расчета является определение I_m, w и y_i.

2. .

3. .

4. .

5. Частота тока равна частоте напряжения w.

6. , .

Понятно, что рассчитывать такую цепь символическим методом нецелесообразно.

Падения напряжений на каждом (идеальном) элементе приемника определяются по изложенным правилам расчета каждого из них в отдельности по найденному току в них. Например, при определении напряжения на индуктивности (оно будет синусоидальным) :

.

При определении :

,

При определении :

.

При построении векторной диаграммы в связи с этим комплексную плоскость использовать не обязательно. Для этого один из векторов синусоидальных величин следует принять за основной (опорный) и на чертеже располагать его произвольно. Остальные векторы строить относительно опорного вектора с учетом сдвигов фаз между ними. Поскольку в рассматриваемом случае в каждом элементе имеет место один и тот же ток, именно его вектор и следует принять за опорный, а далее исходить из того, что источник напряжения на R совпадает с током по фазе, падение напряжения на L опережает ток на 90°, а на емкости С – отстает на 90° (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Векторная диаграмм строится на основе второго закона Кирхгофа  путем параллельного переноса векторов.

При построении векторной диаграммы (см. рис. 2.18) произвольно принято, что . Это означает, что j > 0 (отсчет углов производится против часовой стрелки), что в свою очередь говорит о преобладании в цепи индуктивности (х_L > х_С), когда общий ток отстает по фазе от напряжения на угол .

Если х_L < х_С , т.е.  в цепи будет преобладать емкость (цепь носит емкостной характер) и ток будет опережать напряжение на угол .

В случае, если х_L = х_С , окажется, что , х = 0 и j = 0, т.е. несмотря на то, что в цепи есть и индуктивность, и емкость по фазе ток и напряжение будут совпадать. Это значит, что цепь, в целом, будет вести себя как только активное сопротивление, когда Z = R + jx = R. Такой режим работы цепи называется резонансным и будет рассмотрен отдельно.

Проекция вектора напряжения на ток, т.е. , называется активной составляющей напряжения, а на ось, перпендикулярную току, т.е. , называют реактивной составляющей напряжения. Понятно, что , а .

При этом треугольник, составленный из величин напряжений (модулей соответствующих комплексных чисел), т.е.  называется треугольником напряжений (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Из этого треугольника легко получить формулы связи, которые могут оказаться полезными при расчетах. Например, .

Если величины сторон этого треугольника разделить на величину действующего значения тока с учетом того, что , получим треугольник, называемый треугольником сопротивлений z, R и x = x_L – x_C (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Из этого треугольника легко получаются ранее полученные зависимости , а также R = z×cosj и x = z×sinj. Конечно,  и .

Параллельное соединение R, L и С. Схема такой цепи представлена на рис. 2.21. Понятно, что в этой цепи i(t) = i_R(t) + i_L(t) + i_C(t).

Рис. 2.21

Для идеальных R, L и С:

, , ,

при том, что i (t) = i_R(t) + i_L(t) + i_C(t).

Окончательное уравнение электрического состояния принимает вид:

.

При синусоидальном питающем напряжении:

токи во всех ветвях цепи будут синусоидальными с соответствующими комплексными действующими значениями .

Перевод исследуемой цепи в область комплексных изображений с учетом свойств оригиналов и изображений уравнение электрического состояния приводится к виду:

Таким образом, цепь, как и в случае последовательного соединения R, L, C, приводится к виду (рис. 2.22).

Рис. 2.22

Здесь Y – эквивалентная полная или кажущаяся проводимость цепи с учетом того, что 1/R = g – активная проводимость цепи, совпадающая с проводимостью ветви с R, b = –b_L + b_C – эквивалентная реактивная проводимость цепи при    и  (реактивные проводимости ветвей). При этом .

Таким образом, входной ток и входное напряжение связаны законом Ома в комплексной форме, т.е.  и  при .

Это значит, что если, например  (j = y_u – y_i > 0, y_u > y_i), в цепи преобладает индуктивность, то перевод сопротивления этой цепи в проводимость приводит к изменению знака аргумента j на противоположный:

.

Смена знака аргумента j, следовательно, знаков реактивных проводимостей b, b_L и b_C, может создать впечатление, что цепь в этом случае изменяет характер с индуктивного на емкостной (или наоборот). Конечно, этого не происходит. Характер цепи однозначно определяется ее составом и не зависит от того, к какому виду она приводится результатом эквивалентных преобразований.

Здесь дело только в том, какой из двух векторов (комплексных изображений) принимается за отправной (исходный) и свойств математических действий над функциями – оригиналами и их изображениями. Если в цепи преобладает индуктивность, векторная диаграмма имеет вид рис. 2.23.

Рис. 2.23

Поскольку множитель  поворачивает исходный вектор на угол j в положительном направлении (против часовой стрелки) при j > 0, и в отрицательном при j < 0, в случае  опорным является вектор , а вектор  «поворачивается» от вектора  по часовой стрелке на угол +j, а при  опорным является , а вектор  «поворачивается» на угол j в отрицательном направлении. В обоих этих случаях ток отстает от напряжения на угол j, векторная диаграмма и характер цепи не изменяются.

В этой связи в большинстве случаев комплексную полную проводимость представляют в виде:

.

При b_L > b_C, как и в случае Z, цепь носит индуктивный характер, а при b_L < b_C – емкостной. Легко видеть, что при переводе сопротивления Z в проводимость одной и той же цепи знаки расчетом учитываются автоматически.

При построении векторной диаграммы цепи (см. рис. 2.21) с параллельным соединением ветвей за опорный принимают вектор напряжения, одинаковый на всех ветвях, а сама диаграмма представляет собой диаграмму токов, связанных между собою первым законом Кирхгофа, т.е.  (рис. 2.24).

Понятно, что  совпадает по фазе с напряжением,  отстает от напряжения на угол 90°, а  – опережает это напряжение на 90°. Диаграмма (см. рис. 2.24) построена исходя из того, что b_L > b_C, b_L > 0, т.е. цепь имеет индуктивный характер, и отстает от напряжения на угол j.

Рис. 2.24

Проекция тока  на напряжение  называется активной составляющей тока , а на ось, перпендикулярную напряжению – реактивной составляющей .

Совокупность величин активной , реактивной  составляющей и общего тока  на плоскости называют треугольником токов (см. рис. 2.25).

Рис. 2.25

Из этого треугольника легко получить целый ряд зависимостей, которые могут быть полезными при расчетах. Например, ,  и т.д.

Понятно, что треугольник токов при изменении характера цепи при b_L < b_C остается принципиально одним и тем же.

Если все стороны треугольника токов разделить на напряжение U, получим треугольник проводимостей (см. рис. 2.26), поскольку ,  и .

Рис. 2.26

При этом  – модуль (величина) полной комплексной проводимости, g – ее активная, а b – реактивная составляющие. При этом угол . Все эти зависимости полностью совпадают с полученными ранее. Ясно, что треугольники тока и проводимости подобны.

Понятно, что цепь с параллельным соединением g, b_L, b_C может быть рассчитана как символическим методом, так и без перевода цепи в комплексную форму. При всех расчетах исходят из того, что при синусоидальном питающем напряжении  токи в каждой k-той ветви – тоже синусоидальны, т.е. .

В области оригиналов:

, при , ,

, при ,

, при ,

, при , , , .

В области комплексных изображений:

,

Далее полученные комплексные амплитуды должны быть переведены в оригиналы – синусоиды соответствующих ветвей i(t), i_R(t), i_L(t), i_C(t).

При расчете электрических цепей часто приходится прибегать к переводу цепи с последовательным соединением R, x_L, x_C в эквивалентную цепь с параллельным соединением g, b_L и b_C и к обратному преобразованию.

При выполнении таких преобразований следует четко понимать, что использованные ранее соотношения  и ,  и ,  и  использованы быть не могут, т.к. сопротивления R, x_L, x_C в последовательном и эквивалентном параллельном соединении – разные сопротивления.

Легко видеть, что в общем случае:

,

освобождая дробь от иррациональности в знаменателе,

что было получено при расчете цепи с параллельным соединением g, b_L и b_C .

Таким образом, следует иметь в виду, что при эквивалентных преобразованиях цепей с последовательным соединением е, L, C в параллельное в общих случаях следует использовать соотношения ,  и , где , а при переводе параллельного соединения с g, b_L и b_C в эквивалентное последовательное соответственно ,  и , где , а .

В этом случае, если при последовательном включении цепь имеет индуктивный характер (x_L > х_C), при ее переводе в эквивалентное параллельное соединение (b_L > b_C), т.е. характер цепи не изменяется, что составляет одно из основных условий эквивалентности.