Изображение синусоидальных функций комплексными числами

Легко показать, что любая синусоидальная функция времени, a(t) = A_m × sin(wt + y) полностью, определяемая амплитудой A_m и фазой (wt + y), однозначно определяется функцией  на комплексной плоскости. Это соответствие является взаимно однозначным, поскольку:

Это значит, что если нам известна функция a(t) = A_m × sin(wt + y), то этой функции однозначно может быть сопоставлена функция , и наоборот, т.е. a(t) « a(jwt).

Конечно, речь здесь идет не о равенстве, а о взаимно однозначном соответствии, как между конкретным человеком и его паспортом. Именно поэтому можно вести речь о функции – оригинале a(t) = A_m × sin(wt + y) и однозначно соответствующем этому оригиналу изображении  на комплексной плоскости.

Понятно, что:

.

Здесь  называется комплексной амплитудой синусоиды. Соответственно  называется комплексным действующим значением. В связи с этим на комплексной плоскости комплексная амплитуда  представляет собой вектор с длиной (модулем), в соответствующем масштабе равным A_m, и поворотом относительно положительной полуоси вещественных в положительном (при +y) направлении (против часовой стрелки) на угол y (рис. 2.9).

Рис. 2.9

При этом комплексное действующее значение будет представлено вектором:

.

Итак, комплексная амплитуда и комплексное действующее значение представляют не всю синусоиду. Они не учитывают частоту.

Вся синусоида на комплексной плоскости представляется комплексной амплитудой, вектор которой вращается против часовой стрелки со скоростью w = const вокруг начала координат от своего первоначального положения , а именно (рис. ):

.

Здесь w – угловая скорость вращения вектора (отсюда w – угловая частота синусоиды).

Как уже было отмечено, при расчетах электрических цепей мы всегда имеем дело с одной единственной, как правило, известной частотой ЭДС, токов и напряжений. В таких случаях вращением векторов с постоянной скоростью можно не считаться, ибо взаимное расположение различных векторов не меняется, а сама частота известна. Таким образом, любая синусоида известной частоты однозначно может быть представлена комплексной амплитудой  или комплексным действующим значением . С другой стороны, при известной частоте по найденной комплексной амплитуде  легко восстанавливается функция – оригинал:

.

Если комплексная амплитуда найдена в виде алгебраической формы , для нахождения соответствующей синусоиды необходимо вначале перевести  в показательную форму:

,

где , а . Отсюда – синусоида .

Примеры.

1. .

.

, .

2.  – комплексное действующее значение синусоиды. При известной частоте w в цепи получаем  и .

Таким образом, синусоида .

3. .

В показательной форме .

Комплексное число расположено во втором квадрате плоскости.

Следовательно, соответствующая этой комплексной амплитуде синусоида .

Следует иметь в виду, что постоянные ЭДС, напряжения и токи вполне возможно рассматривать как частные случаи синусоидальных величин. Дело в том, что синусоида  будет равна постоянной не зависящей от времени величине при условии, что частота этой синусоиды w = 0, а начальная фаза a = 90°:

.

Это означает, что постоянная величина A_m  на комплексной плоскости представляется, если в этом есть необходимость, комплексным числом:

,

где A_m – величина постоянной ЭДС, напряжения или тока (E, V, I).

В некоторых случаях при расчете электрических цепей представление постоянных ЭДС, напряжений и токов в виде синусоид оказывается целесообразным. Одновременно это говорит о том, что методы расчета электрических цепей постоянного тока полностью совпадают с методами расчета цепей синусоидального тока в символической форме.