Соответствие математических операций над синусоидами математическим операциям над их комплексными изображениями

Доказательства таких соответствий достаточно просты и приводятся во всех учебниках по теоретической электротехнике.

Как правило, переход от математических операций над синусоидами к математическим действиям над изображающими их комплексными числами существенно упрощает расчеты.

I. Сложение и вычитание синусоид.

К сожалению, в тригонометрии отсутствуют удобные для инженерных расчетов формулы для сложения и вычитания синусоид. Известно только одно: результатом сложения и вычитания синусоид одной и той же частоты является синусоида той же частоты со своей амплитудой и начальной фазой, которые и нужно определить. Перевод синусоид в область комплексных изображений позволяет легко складывать (или вычитать) любое количество синусоид, ибо сложению и вычитанию синусоид соответствует сложение или вычитание изображающих эти синусоиды комплексных чисел. Так что, если:

,  а

,    то

Поскольку сложение и вычитание комплексных чисел удобнее проводить в алгебраической форме, показательные формы   и  необходимо привести в алгебраическую форму.

Пример.

.

Требуется сложить эти две синусоиды, т.е.:

.

Таким образом, нужно определить A_m и y.

Обычными тригонометрическими правилами (тем более в случае более двух синусоид) это сделать или чрезвычайно трудно, или даже невозможно.

Но . Для этого  и  переводим в начале в алгебраическую, а затем в показательную формы:

Следовательно,

Это и есть итоговая синусоида. Искомые A_m = 11,8, а y = 41°.

II. Умножение и деление синусоиды на вещественную постоянную.

Умножению синусоиды на вещественную постоянную «k» (если k = 1/P – дробное, то делению) в области комплексных изображений соответствует умножение (деление) на эту постоянную комплексного изображения синусоиды  или .

Если , то . При этом .

В этом случае в комплексной амплитуде (комплексном действующем значении) изменяется только модуль (величина), а аргумент остается прежним. На комплексной плоскости  и  представляют векторы, разной длины при совпадении по направлению. Умножение и деление синусоиды на вещественную постоянную производится в законе Ома для участка цепи с R.

III. Дифференцирование синусоиды.

Если , то . Таким образом, результатом дифференцирования синусоиды оказывается синусоидальная функция той же самой частоты, что является принципиально важным для электрических цепей синусоидального тока. Но амплитуда  новой синусоиды больше исходной в w раз, т.е. , а начальная фаза этой синусоиды увеличивается на 90°, т.е. . Это значит, что продифференцированная синусоида опережает исходную на 90° = p/2.

В области комплексных изображений, когда  получаем, что комплексная амплитуда новой синусоиды

. Это значит, что относительно сложное математическое действие, связанное с дифференцированием в области комплексных изображений заменяется на обычное алгебраическое, а именно – на умножение комплексного изображения исходной синусоиды на множитель jw, что существенно упрощает расчеты.

Пример.

.

К дифференцированию синусоиды приходится прибегать при использовании закона электромагнитной индукции (Фарадей).

IV. Интегрирование синусоиды

Если

,       то

,

где  уменьшается в w раз, а  уменьшается на 90° = .

Это значит, что проинтегрированная синусоида отстает от исходной на угол . Интегрированию синусоиды в области комплексных изображений соответствует деление комплексного изображения этой синусоиды на jw.

К интегрированию синусоиды приходится прибегать при анализе емкости в цепи. Отсутствие здесь постоянной интегрирования, представляющей собой среднее значение интегрируемой функции, объясняется тем, что среднее за период значение синусоиды равно нулю, т.е. постоянная составляющая в нашем случае отсутствует.

Легко видеть, что перечисленные фактически уникальные для синусоид и их комплексных изображений свойства позволяют дифференциальные уравнения электрического равновесия электрических цепей заменить простыми алгебраическими уравнениями, что не просто облегчает расчет, но в некоторых случаях только и позволяет его выполнить.

Например, система дифференциальных уравнений, приведенная в п.1.8 для электрической цепи (рис. 14) легко приводится к системе простых алгебраических уравнений:

1. ;

2. ;

I. ;

II. ;

III. .