Математические действия над комплексными числами

Математические операции над комплексными числами полностью подчиняются правилам обычной школьной алгебры.

I. Сложение и вычитание комплексных чисел производятся по правилам приведения подобных в алгебраической форме записи чисел:

(a₁ + ja₂) ± (b₁ + jb₂) = a₁ + ja₂ ± b₁ + jb₂ = (a₁ ± b₁) + j(a₂ ± b₂) = c₁ + jc₂,

где с₁ = (a₁ ± b₁) – вещественная часть суммы двух чисел, а c₂ = (a₂ ± b₂) – мнимая.

При этом следует иметь в виду, что у a₁, b₁, a₂, b₂ могут иметь собственные знаки (плюс или минус), которые, безусловно, должны учитываться.

Процедуры сложения  и вычитания  векторов, соответствующих комплексным числам  наглядно иллюстрируются рисунком 2.7.

Рис. 2.8

Таким образом, сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует сложение и вычитание векторов этих комплексных чисел. Этот очевидный факт оказывается чрезвычайно полезным при построении векторных диаграмм участков электрических цепей и цепей в целом.

Примеры.

1. (3 + j5) + (2 – j8) = (3 + 2) + j(5 – 8) = 5 – j3.

2. (6 – j4) – (3 – j5) = (6 – j4 – 3 + j5) = (6 – 3) + j(–4 + 5) = 3 + j.

II. Умножение и деление комплексных чисел удобнее всего производить в показательной форме по правилам умножения и деления степенных чисел:

,

где С = А × В, а g = a + b.

Соответственно:

,

где , а g = a – b.

Понятно, что при всех этих операциях должны учитываться собственные знаки аргументов a и b.

Пример.

Если , а , то  и .

III. Умножение комплексного числа на постоянную k.

В соответствии с правилом умножения (деления):

,

где С = А × k, при этом «k» может быть дробью, т.е. k = 1/Т.

В комплексном числе в этом случае изменяется только модуль без изменения аргумента.

Легко видеть, что умножению комплексного числа на постоянную приводит к умножению вектора, соответствующего комплексному числу, на эту постоянную, что приводит к увеличению (при делении – к уменьшению) модуля (длины) вектора без изменения его положения относительно осей координат.

Пример.

Если , а k = 6, то .

IV. Умножение комплексного числа на множитель  приводит к следующему.

Если , то .

Результат показан на рис. 2.8.

Рис. 2.8

Это значит, что умножение комплексного числа  на  приводит к повороту вектора, соответствующего числу  на угол q при положительном угле «+q» – против часовой стрелки, а при отрицательном «–q» – по часовой стрелке без изменения модуля (величины) комплексного числа. Это чрезвычайно важно для понимания символического метода расчета цепей.

В частности, это значит, что если вещественную положительную единицу (+1) умножить на , получим положительную мнимую единицу, т.е. . Значит, , , , .

Понятно, что j² = –1 и .

Все эти соотношения оказываются чрезвычайно полезными при вычислениях с комплексными числами. Исключительно важным для символического метода является умножение комплексного числа на множитель  при w = const и изменении времени t от 0 до ¥.

Вектор комплексного числа  при  во времени совершает круговое вращение относительно начала координат «0» против часовой стрелки с постоянной скоростью (угловой частотой) w = const.

Два комплексных числа с одинаковыми модулями, но противоположными по знаку аргументами называются сопряженными. Например, если , то сопряженное ему число .