Решение задачи методом Понтрягина

Введём для этого допущения:

-неучитывая ограничения g(x(t))≤0   
-полагаем независящими от времени показатели боевой эффективности i-го ЛА стороны x  и стороны y  
-функционал  считаем практически не зависящим от
С методом Понтрягина, оптимальное управление доставляет максимальное значение функций Гамильтона H, то есть:

при 0≤ ,

– правые части уравнений развития СЛА
Гамильтониан в этом случае        

Для

 – Коэффициент значимости ЛА i-го типа в СЛА

- Критерий боевой эффективности одного ЛА i-го типа, функционирующего в системе

Пусть функционал - линейно зависит от , то есть: и представляет собой, например, математическое ожидание числа уничтоженных истребителями ВЦ за время операции.
- сопряженная функция. Она сопрягается интегральным сопряжением уравнений.

 (6)

при t=T и , так как для всех ЛА i-го типа числитель функции
 - одинаков при сравнении
Его можно не учитывать и представить.

(7)

 - удельная боевая эффективность ЛА i-го типа, то есть величина критерия боевой эффективности ЛА i-го типа, приходящаяся на единицу стоимости его создания
 - функция, учитывающая влияние будущего времени на значимость ЛА i-го варианта
 определяется в результате интегрирования уравнений (6)
Проанализируем решение (4) вариационной задачи (3):
Оптимальное уравнение  - кусочно-постоянная функция, принимающая на интервале 0≤t≤T значения или 0 или 1. Значимость ЛА i-го варианта определяется функцией , если на некотором отрезке , то это означает, что на этом отрезке
То есть ЛА j-го варианта превосходит ЛА i-го варианта и все ресурсы, отпускаемые на производство, расходуются на ЛА j-го типа
Это так или иначе принимается концентрацией усилий: если ресурсы ограничены, то их тратят на самое важное
Если на и ЛА i-го типа превосходит ЛА j-го типа

Коэффициенты  можно назвать динамическими критериями сравнения ЛА i-го и j-го варианта.
Рассмотрим вопрос сравнения ЛА разных вариантов подробно
Пусть СЛА состоит из двух типов i-го и j-го. Без потери общности можно считать, что ЛА j-го варианта находится на вооружении в момент времени t=0, и их число

Возможно три варианта решения вариационной задачи:
1. На всем отрезке времени прогнозируется 0≤t≤T . Это значит  из этого следует, что ЛА j-го варианта превосходит ЛА i-го варианта и СЛА комплектуется только из ЛА j-го варианта. Их число определяется интегральным уравнением (1)

2. На всём отрезке t: 0≤t≤T и система ЛА состоит только из ЛА i-го варианта. Численность ЛА определяется интегральным уравнением (1)

3. На отрезке t:

 0≤t≤ ,

 На отрезке огранич

Время  – время перехода с производства ЛА j-го варианта на производство ЛА i-го варианта. Оно находится из уравнения: , где E определяются выражением (7)

Условия конкурентоспособности боевых ЛА

Условия формулируются в форме сопоставления коэффициентов значимости E(t) различных типов ЛА на отрезке 0≤t≤T, где T – глубина прогнозирования. Два варианта ЛА j-й и i-й конкурентоспособны, если на отрезке 0≤t≤
 - время перехода с производства ЛА j-го варианта на производство ЛА i-го варианта. В этом случае СЛА формируются из ЛА двух типов. Три варианта ЛА конкурентоспособны, если на отрезке 0≤t≤ , на отрезке k≤t≤ , на отрезке ≤t≤T,
- времена переходов СЛА j-го варианта на ЛА к-го варианта и с производства к-го варианта на ЛА i-го варианта.
В этом случае СЛА формируется из трёх вариантов (I,j,k)
Условия монопольности ЛА i-го варианта на всем отрезке 0≤t≤T определяется так:
Тот или иной вариант оптимальной СЛА определяется путем решения задачи (3)
Условия конкурентоспособности ЛА еще могут быть представлены в косвенной форме через обобщенные показатели
Косвенные условия конкурентоспособности ЛА

Они применяются для:

1.

2. Показатели  - const

Условия конкурентоспособности определяются для случаев:

А. ЛА i-го варианта предпочтительнее ЛА j-го варианта в будущем моменте t=T, если

Так как , условия:

Назовем ЛА i-го варианта, для которого выполняется (9), - базовым.
Б. ЛА j-го варианта конкурирует с ЛА i-го варианта, если время перехода на производство ЛА i-го варианта не равно 0, то есть
Это означает, что на производился ЛА j-го варианта.
Для того, чтобы ЛА j-го варианта был конкурентоспособен по отношению к ЛА i-го варианта необходимо выполнение:
Если это условие не удовлетворено, то ЛА j-го варианта неконкурентоспособен по отношению к ЛА i-го варианта. И производится только ЛА i-го варианта
Для установления конкурентоспособности ЛА необходимо:
1. Выявить базовый ЛА i-го варианта в t=Tc соотношения (8) или (9)
2. Проверить конкурентоспособность ЛА j-го варианта по отношению к ЛА i-го варианта с помощью (10)

Вариационная задача прогнозирования развития системы ТСЛА

Формулировка задачи

Эта модель в отличие от рассмотренной модели прогнозирования развития боевых систем ЛА прогнозирует создание системы, способной дать наибольший результат не в конечном моменте времени , то есть время начала предполагаемого применения боевой СЛА, а за весь будущий отрезок t прогнозирования 0≤t≤T.
Формулировка вариационной задачи в общем виде была приведена ранее. Конкретизируем её. Для этого конкретизируем функционал

В качестве функции , характеризующую суммарную результативность функционирования ТСЛА в ед. t выделим:

 - Коэффициент важности i-го ЛА
 - Интенсивность функционирования ЛА i-го варианта
 - летная доля суток

 - масса, перевозимой ЛА i-го варианта, нагрузки

 - дальность полета

 - время рейса

 - средняя крейсерская скорость

 - пассивное время

 - вероятность выполнения полетного задания Летательным Аппаратом i-го варианта

Требуется определить оптимальную управляющую вариационную функцию

и оптимальный прогноз , обеспечивающие максимальное значение функционала
при условиях (1),(2),

Решение задачи методом Понтрягина

В соответствии с методом Понтрягина, оптимальное управление доставляет максимальное значение уравнения Гамильтона Н.

Функция Гамильтона имеет вид:
i

Для 0≤t≤T:

Так как для всех ЛА i-го варианта числитель функции q одинаков при сравнении , то его можно не учитывать и тогда можно представить:

 - коэффициент значимости ЛА i-го варианта в ТСЛА

 - Сопряженная функция
, определяется интегральным сопряжением уравнений:

При условии t=T, =0

Для случая, когда оптимальная система должна комплектоваться летательными аппаратами двух вариантов: j-го и i-го, оптимальное решение записывается так:

Условия конкурентоспособности транспортных ЛА

А. Моменты времени t, примыкающие к T(т.еt≈T). ТЛА i-го варианта предпочтительнее ТЛА j-го варианта, если

ЛА i-го варианта считаются базовыми

Б. ТЛА j-го варианта конкурируют с ТЛА i-го варианта, если

Условие монопольности ТЛА i-го варианта имеет вид:

То есть при данных условиях целесообразно производить только ЛА i-го варианта.
Условия монопольности ТЛА j-го варианта, характеризующая целесообразность производства только ТЛА этого варианта, имеет вид:

Шиленок

(X )) =

Т.е. (X(t))

3. Вариационная обратная задача с функционалом, представляет собой затраты на создание и эксплуатацию системы с заданным на промежутке 0 ≤t≤T значениями КФЭ, то есть

 – Стоимость создания БСЛА

4. Игровая прямая задача (дифф.Игра), в которой отыскиваются оптимальные траектории развития двух противоборствующих сторон X и Y при заданных ассигнованиях. При строгом соперничестве:

При нестрогом соперничестве:

Где  – критерии функциональной эффективности систем Х и Y

Модели прогнозирования развития ТСЛА

3. Вариационная прямая задача с функционалом представляет собой эффективность функционирования ТСЛА за отрезок будущего времени 0 ≤t≤T

4. Вариационная обратная задача с функционалом, представляет затраты на создание и эксплуатацию системы с заданным функциональным эффектом за Т, то есть:

5.

Векторное число ЛА x(t) подчиняется:

а) векторным ограничениям:

x(t)≥0

g(x(t))≤0

где g – векторное ограничение на число ЛА

б) Дифференциальными уравнениями

(1)

Где i=1,2,….,

n – число вариантов ЛА, из которых может быть сформирована СЛА

, где - числа вариантов серийных и новых ЛА

-максимальный темп поступления ЛА i-го типа в системе.с производством

 – интенсивность ассигнований на развитие системы ЛА

 – годовая стоимость эксплуатации ЛА i-го вер-та

 – стоимость продажи ЛА i-го типа за рубеж

 – интенсивность продажи ЛА i-го типа за рубеж

 – доля дохода от продажи ЛА за рубеж, которая выделяется на развитие СЛА (0≤ )

 – стоимость создания ЛА i-го варианта

 - суммарная интенсивность выбытия ЛА i-го варианта из системы ЛА

 – темп выбытия ЛА i-го варианта из-за гибели и продажи за рубеж

 – интенсивность гибели ЛА i-го варианта

 – управление, представляющее собой долю средств, выделяемую в момент t на производство ЛА i-го типа

(2)Управляющие функции ограничены условиями  ≤1,

То есть, при  на производство ЛА i-го типа средств не выделяется, при  средства выделяются. Если на отрезке 0≤t≤T управляющие функции известны, то уравнение с начальными условиями , (  – время завершения разработки ЛА i-го типа) позволяет найти траекторию развития СЛА i-го типа.

Оптимальное уравнение  даёт оптимальную траекторию(прогноз) развития системы ЛА

определяются в результате решения вариационных задач

Вариационная прямая задача прогнозирования развития боесистем ЛА

Формулировка задачи:

Пусть в момент t=0 когда надо выработать прогноз развития БСЛА на отрезке будущего времени известны:

6. Назначение; боезадачи БСЛА, критерий боевой функции, эффективность  и скалярная композиция

7. Облик и обобщённые характеристики  существующих и перспективных ЛА i-го типа  из которых на отрезке времени 0≤t≤T прогноз.дбсформиров БСЛА

8. Число серийных ЛА i-го варианта при t=0,

9. Интегральное уравнение на развитие СЛА

10. Характеристики СЛА стороны Y, противодействующей стороне X. Определить оптимальную управляющую вариативную функцию
и оптимальный прогноз , , обеспечивающие максимальное значение функционала в момент t=T

при условиях 1,2, а так же ≥0, g( )≤0

Решение задачи методом Понтрягина

Введём для этого допущения:

-не учитывая ограничения g(x(t))≤0

-полагаем независящими от времени показатели боевой эффективности i-го ЛА стороны x  и стороны y

-функционал  считаем практически не зависящим от

С методом Понтрягина, оптимальное управление доставляет максимальное значение функций Гамильтона H, то есть:

при 0≤ ,

– правые части уравнений развития СЛА

Гамильтониан в этом случае

Для

 – Коэффициент значимости ЛА i-го типа в СЛА

 - Критерий боевой эффективности одного ЛА i-го типа, функционирующего в системе

Пусть функционал - линейно зависит от , то есть: и представляет собой, например, математическое ожидание числа уничтоженных истребителями ВЦ за время операции.

- сопряженная функция. Она сопрягается интегральным сопряжением уравнений

(6)  при t=T и , так как для всех ЛА i-го типа числитель функции

 - одинаков при сравнении

Его можно не учитывать и представить (7)

 - удельная боевая эффективность ЛА i-го типа, то есть величина критерия боевой эффективности ЛА i-го типа, приходящаяся на единицу стоимости его создания

 - функция, учитывающая влияние будущего времени на значимость ЛА i-го варианта

 определяется в результате интегрирования уравнений (6)

Проанализируем решение (4) вариационной задачи (3):

Оптимальное уравнение  - кусочно-постоянная функция, принимающая на интервале 0≤t≤T значения или 0 или 1. Значимость ЛА i-го варианта определяется функцией , если на некотором отрезке , то это означает, что на этом отрезке

То есть ЛА j-го варианта превосходит ЛА i-го варианта и все ресурсы, отпускаемые на производство, расходуются на ЛА j-го типа

Это так или иначе принимается концентрацией усилий: если ресурсы ограничены, то их тратят на самое важное

Если на и ЛА i-го типа превосходит ЛА j-го типа

Коэффициенты  можно назвать динамическими критериями сравнения ЛА i-го и j-го варианта.

Рассмотрим вопрос сравнения ЛА разных вариантов подробно

Пусть СЛА состоит из двух типов i-го и j-го. Без потери общности можно считать, что ЛА j-го варианта находится на вооружении в момент времени t=0, и их число

Возможно три варианта решения вариационной задачи:

1. На всем отрезке времени прогнозируется 0≤t≤T . Это значит  из этого следует, что ЛА j-го варианта превосходит ЛА i-го варианта и СЛА комплектуется только из ЛА j-го варианта. Их число определяется интегральным уравнением (1)

2. На всём отрезке t: 0≤t≤T и система ЛА состоит только из ЛА i-го варианта. Численность ЛА определяется интегральным уравнением (1)

3. На отрезке t: 0≤t≤ ,  На отрезке огранич

Время  – время перехода с производства ЛА j-го варианта на производство ЛА i-го варианта. Оно находится из уравнения: , где E определяются выражением (7)

Условия конкурентоспособности боевых ЛА

Условия формулируются в форме сопоставления коэффициентов значимости E(t) различных типов ЛА на отрезке 0≤t≤T, где T – глубина прогнозирования. Два варианта ЛА j-й и i-й конкурентоспособны, если на отрезке 0≤t≤

 - время перехода с производства ЛА j-го варианта на производство ЛА i-го варианта. В этом случае СЛА формируются из ЛА двух типов. Три варианта ЛА конкурентоспособны, если на отрезке 0≤t≤ , на отрезке k≤t≤ , на отрезке ≤t≤T,

- времена переходов СЛА j-го варианта на ЛА к-го варианта и с производства к-го варианта на ЛА i-го варианта.

В этом случае СЛА формируется из трёх вариантов (I,j,k)

Условия монопольности ЛА i-го варианта на всем отрезке 0≤t≤T определяется так:

Тот или иной вариант оптимальной СЛА определяется путем решения задачи (3) Условия конкурентоспособности ЛА еще могут быть представлены в косвенной форме через обобщенные показатели

Косвенные условия конкурентоспособности ЛА

Они применяются для:

3.

4. Показатели  - const

Условия конкурентоспособности определяются для случаев:

А. ЛА i-го варианта предпочтительнее ЛА j-го варианта в будущем моменте t=T, если

Так как , условия:

Назовем ЛА i-го варианта, для которого выполняется (9), - базовым.

Б. ЛА j-го варианта конкурирует с ЛА i-го варианта, если время перехода на производство ЛА i-го варианта не равно 0, то есть

Это означает, что на производился ЛА j-го варианта.

Для того, чтобы ЛА j-го варианта был конкурентоспособен по отношению к ЛА i-го варианта необходимо выполнение:

Если это условие не удовлетворено, то ЛА j-го варианта неконкурентоспособен по отношению к ЛА i-го варианта. И производится только ЛА i-го варианта

Для установления конкурентоспособности ЛА необходимо:

1. Выявить базовый ЛА i-го варианта в t=Tc соотношения (8) или (9)

2. Проверить конкурентоспособность ЛА j-го варианта по отношению к ЛА i-го варианта с помощью (10)

Вариационная задача прогнозирования развития системы ТСЛА

Формулировка задачи

Эта модель в отличие от рассмотренной модели прогнозирования развития боевых систем ЛА прогнозирует создание системы, способной дать наибольший результат не в конечном моменте времени, то есть время начала предполагаемого применения боевой СЛА, а за весь будущий отрезок t прогнозирования 0≤t≤T.

Формулировка вариационной задачи в общем виде была приведена ранее. Конкретизируем её. Для этого конкретизируем функционал

В качестве функции , характеризующую суммарную результативность функционирования ТСЛА в ед. t выделим:

 - Коэффициент важности i-го ЛА

 - Интенсивность функционирования ЛА i-го варианта

 - летная доля суток

 - масса, перевозимой ЛА i-го варианта, нагрузки

 - дальность полета

 - время рейса

 - средняя крейсерская скорость

 - пассивное время

 - вероятность выполнения полетного задания Летательным Аппаратом i-го варианта

Требуется определить оптимальную управляющую вариационную функцию

и оптимальный прогноз , обеспечивающие максимальное значение функционала

при условиях (1),(2),

Решение задачи методом Понтрягина

В соответствии с методом Понтрягина, оптимальное управление доставляет максимальное значение уравнения Гамильтона Н.

Функция Гамильтона имеет вид:i

Для 0≤t≤T:

Так как для всех ЛА i-го варианта числитель функции q одинаков при сравнении , то его можно не учитывать и тогда можно представить:

 - коэффициент значимости ЛА i-го варианта в ТСЛА

 - Сопряженная функция

, определяется интегральным сопряжением уравнений:

При условии t=T, =0

Для случая, когда оптимальная система должна комплектоваться летательными аппаратами двух вариантов: j-го и i-го, оптимальное решение записывается так:

Условия конкурентоспособности транспортных ЛА

А. Моменты времени t, примыкающие к T(т.еt≈T). ТЛА i-го варианта предпочтительнее ТЛА j-го варианта, если

ЛА i-го варианта считаются базовыми

Б. ТЛА j-го варианта конкурируют с ТЛА i-го варианта, если

Условие монопольности ТЛА i-го варианта имеет вид:

То есть при данных условиях целесообразно производить только ЛА i-го варианта.

Условия монопольности ТЛА j-го варианта, характеризующая целесообразность производства только ТЛА этого варианта, имеет вид: