Идеальные элементы» и их значение для построения математики

Если вернуться от теории математического доказательства к предметной области математики и задать вопрос об интеллектуальных силах, способствовавших ее построению, то одним из методически важнейших мотивов оказывается развитие понятия предела и теории идеальных элементов. Понятие предела относится к тем фундаментальным понятиям, которые были открыты философской мыслью и получили в ее сфере первоначальную определенность еще до того, как они получили доступ в царство науки. Число и предел выступают как взаимозависимые понятия в философии пифагорейцев. Если здесь вообще применимы слова «раньше» или «позже», то понятие предела даже обладает логическим и метафизическим приматом по отношению к понятию числа. Своему положению и значению в пифагорейской системе число обязано тем, что только оно реализует постулат, выраженный понятием предела. «Предел» и «беспредельное», πέρας и άπειρον, суть два полюса бытия и два полюса знания. Власть числа над бытием обосновывается тем, что оно наводит мосты между двумя этими полюсами. Входя в числовой порядок, неопределенное и бесконечное подчиняются власти формы. От последней исходит синтез, в ней заключается всеобщая гармония. Убежденность в такой гармонии еще не отягощена у пифагорейцев ни малейшими сомнениями: она считается первоначальным фактом, на котором покоится все философское и все математическое познание. Но в самой сущности философского познания заключено то, что оно не может долго опираться на подобный факт, не превращая его в проблему. Это превращение было осуществлено Платоном. Для него предел и беспредельное также являются основополагающими определениями, направляющими всю его философию. В поздних работах Платона πέρας и άπειρον становятся даже первоистоком всего «логического» и именуются «понятийным пафосом». Однако напряжение между противостоящими полюсами здесь возрастает. Оппозиция «определенного» и «неопределенного» включает в себя другую противоположность, в учении Платона выступающую как противостояние мира идей и мира явлений. Между этими двумя мирами невозможна «гармония» в полном смысле слова — смысл идеи заключается именно в том, что ни одно явление не может ей строго «соответствовать». Отношение между ними всегда предполагает дистанцию, принципиальную «инаковость». Никакая «причастность» явления идее не способна перебросить мост через эту пропасть и снять момент έτερότης. Из этой первичной противоположности проистекает для Платона противоположность мира знания и мира эмпирического существования. Любое знание по своей форме и сущности направляется определенным, тогда как всякое существование отдано неопределенному; там мысль пребывает в покое прочного и окончательного бытия, здесь господствует непрерывный и не знающий четких пределов поток становления¹²⁹.

Представляет исторический интерес и заслуживает систематического рассмотрения не только то, что это платоновское решение веками господствовало в метафизике, но также и то, что оно постоянно сохраняло свою значимость в математической науке. Даже в XIX в. Пауль Дюбуа-Реймон в «Общей теории функций» ставил вопрос об истине математи-

309

ческих предметов в совершенно платоновском духе. Правда, он уже не отваживается на однозначный ответ и предоставляет выбор между двумя противоположными подходами — между «идеализмом» и «эмпиризмом». Один из них идет путем «трансцендентного», другой — путем «имманентного». Эмпиризм видит в числе средство для определения, но он не проводит его дальше, чем то позволяет природа данного в опыте объекта. Определение здесь всегда ограничивается рамками, положенными каждым фактическим, каждым конкретным измерением. Процесс измерения может делаться все более тонким и точным, но он никогда не выходит за пределы, в которых возможно различение посредством созерцания, — иначе измерение утратило бы всякий отчетливый «смысл». Напротив, «идеалист» отталкивается от интуиции и дефиниции математического «смысла», объявляя его принципиально независимым от всех условий эмпирической проверки. Например, для него значение бесконечной непериодической десятичной дроби определено не только до той степени, до какой фактически дошел «счет», но она выступает для него в совершенной объективной определенности, как бытие «в себе». Согласно теории Дюбуа-Реймона, это противоречие, даже если оно вообще разрешимо, то никак не средствами математики: оно относится к области уже не математического знания, но философской «веры», призванной сказать здесь последнее слово¹³⁰.

Сколь бы странным и парадоксальным ни казалось на первый взгляд это мнение, похоже оно в значительной мере подтверждается развитием теории математического познания в последние десятилетия. Вопрос об истинности и значимости «идеальных элементов» математики, похоже, разделил математиков на два лагеря — «номиналистический» и «реалистический», — и до сих пор отсутствует решение их спора на основании чисто математических критериев. Некоторые выдающиеся ученые высказывались таким образом, словно речь идет о вопросе, ответ на который зависит не от логической совести математики, но более от этической совести математиков, от их «мировоззрения». С теоретико-познавательной точки зрения такое смещение центра тяжести вопроса о математической истине кажется сомнительным, если учесть место и значение «идеальных элементов» в структуре современной математики. Не было недостатка в попытках ограничения и даже полного вытеснения этого вопроса. Известны слова Кронекера: целое число было сотворено Богом, а все остальное является творением человека. Но если проследить развитие математической мысли от античности до наших дней, то именно эти «человеческие творения» принесли ей самые замечательные победы. Бесспорная плодотворность идеальных элементов всякий раз порождает стремление укрепить их логический фундамент и укоренить математическое мышление в каких-то последних основаниях.

Недавно это было вновь выявлено Гильбертом, подчеркивавшим, что теория математики не может действительно разрабатываться без «подсоединения» к «финитным» высказываниям математики «идеальных» высказываний. Право на такое «подсоединение» сохраняется за математиком, если он может показать, что принятые им новые предметы подчиняются тем же законам соединения, что были установлены для имевшихся ранее, и если новые идеальные элементы нигде не вступают в противоречие со

310

старыми, а при элиминации новых идеальных структур сохраняют свою значимость структуры, бывшие значимыми в прежней области¹³¹. Философская критика выдвигает перед познанием еще одно, более строгое требование. Она не довольствуется тем, что новые элементы рассматриваются на равных правах со старыми по своему смыслу и вступают с ними в непротиворечивые связи, т. е. просто полагаются наряду с ними и утверждаются в этой рядоположенности. Такая формальная их сочетаемость еще не гарантирует внутренней связности, гомогенного логического построения математики. Последнее достижимо лишь в том случае, если доказано, что новые элементы не просто «подсоединяются» как структуры иного рода и происхождения к старым, но представляют собой систематически необходимое развитие имевшихся в наличии структур. Доказать это можно не иначе как продемонстрировав логическое родство новых и старых элементов: новые не просто добавляются к старым, но они уже должны были содержаться в их первоначальном смысле и имплицитно в них присутствовать. Они не меняют этого смысла и не замещают его другим, но от них можно ожидать всестороннего развития и полного прояснения этого смысла. Мы не разочаровываемся в этих ожиданиях, когда видим, как эти «идеальные элементы» последовательно выступали в истории математики. Каждый новый шаг в области математики, который вел к расширению круга ее предметов, всякий раз был и шагом к более глубокому ее обоснованию, к упрочению ее фундамента. Только за счет взаимной поддержки этих двух направлений внутренняя целостность математики не подвергалась опасности при постоянном росте ее здания, но получала все более ясное и надежное подкрепление. Вместе с расширением, с экстенсивным ростом, происходил и интенсивный ее рост. Достигаемый всякий раз уровень не был просто еще одним этажом, но означал и укрепление ее фундамента, радикальное обоснование всех уровней математической «истины». Именно с этой точки зрения следует рассматривать решающую роль «идеальных элементов».

Однако в этом пункте обнаруживается любопытное изменение теоретико-познавательной задачи: она состоит уже не в редукции новых элементов к старым, дабы «объяснить» первые вторыми, но в том, чтобы воспользоваться новым как интеллектуальным посредником, благодаря которому мы можем действительно уловить значение старого и познать его в ранее не достижимой всеобщности и глубине. В этом смысле можно сказать, что логический путь математики заключается не в том, чтобы отвоевать новым элементам права на собственное место наряду с другими, но в том, чтобы достичь с их помощью подлинной цели образования понятий, прийти к критическому пониманию самого этого образования понятий и к пониманию того, на что оно способно. Даже если мы примем, что ratio essendi идеальных структур следует искать в старых структурах, то ratio cognoscendi последних все же лежит в идеальных элементах. Ибо в этих элементах раскрывается первоначальный слой математического мышления, где укоренена не только та или иная индивидуальная область математических объектов, но и сам метод математической объективации. Полагание этих идеальных элементов не является чем-то совершенно новым для математического мышления; на этом пути оно просто освобождается, чтобы достичь со-

311

знания полноты своих сил, от неких «случайных» ограничений, с которыми математика была поначалу связана.

Мы можем проследить характерный процесс такого освобождения, логической эмансипации, во всех тех областях математики, где введение идеальных элементов доказало свое значение. Мысль не должна здесь страшиться кажущегося «невозможным» — только посредством него она достигает действительно свободного и всестороннего видения своих собственных, поначалу сокрытых, возможностей. Открытие «мнимого» в математике и различные попытки его логического оправдания представляют собой классический пример этого основного направления в математическом мышлении. При первом появлении в истории математики «мнимое» казалось чужаком и оккупантом; но со временем этот чужак получает не только все гражданские права — именно с его помощью достигается более глубокое знание математической конституции. Так, Герман Грассман, используя произвольные числа любой сложности, выдвинул новую концепцию геометрии в качестве универсальной концепции «протяженности». В то же самое время с введением мнимых величин был найден подход к действительной систематизации алгебры, так как стало возможным строгое доказательство фундаментальной ее теоремы. Логическое основание для легитимизации новых элементов состоит во всех этих случаях в том, что вместе с ними мы обретаем новое измерение, в котором прежние измерения не исчезают, но становятся еще лучше обозримыми. Наш взгляд из новой области на старую позволяет нам охватить ее мыслью во всем ее объеме, увидеть и понять ее тонкие структурные формы. Так, понятие комплексного числа позволило нам открыть множество доселе неизвестных отношений между «реальными» величинами и доказать их действительную всеобщность. Вместе с этим понятием была не только открыта новая предметная область математики, но была достигнута новая интеллектуальная перспектива, позволяющая по-новому увидеть закономерности реальных чисел. Математика подтвердила тем самым слова Гёте о том, что каждый новый предмет при правильном рассмотрении открывает у нас и новый орган зрения.

Сходным было воздействие на теорию чисел открытия Куммером идеального числа. Были обнаружены законы делимости чрезвычайно простой формы, с чьей помощью стало возможным объединять в идеальные целостности числовые структуры, на первый взгляд не обладающие никаким внутренним «родством». Далее было показано, что обосновываемая здесь теория делимости целых чисел не ограничивается первоначальным полем применения, но почти полностью переносится на другую область, на теорию рациональных функций. Если посмотреть на историю математики, введение идеальных элементов всякий раз «подтверждалось фактами». Однако теория познания не останавливается на существовании таких фактов, но ставит вопрос об их возможности. Отношение, обнаруживаемое между различными предметными областями математики, не относится к простым и доступным непосредственному созерцанию. Новые предметные области не просто становятся рядом со старыми, но изменяют и трансформируют их облик, запечатлевая в них новую форму познания. Именно это составляет тот сво-

312

еобразный интеллектуальный феномен, который мы можем истолковать и объяснить только обратившись к первоначальному мотиву математического формирования предмета вообще.

Действительно, ключ к подлинному пониманию так называемых «идеальных» элементов следует искать в том, что идеальное в них не начинается, но вместе с ними оно впервые выступает со всей отчетливостью. Нет ни одного истинно математического понятия, относящегося к предзаданному и преднайденному предмету, но все входящее в математическую сферу должно включать в себя принцип «синтетического произведения». Первым здесь всегда следует полагание всеобщих отношений, и только из его всестороннего осуществления — в смысле «генетической дефиниции» — развивается любая предметная область. Введение сколь угодно сложных идеальных образований является, по существу, продолжением того, что началось вместе с первыми «элементами» математики. Гильберт также ссылается на то, что метод, благодаря которому возникают идеальные образования, прослеживается вплоть до элементарной геометрии¹³². В обоих случаях требуется в принципе тот же самый логический акт мышления. Он заключается в том, что множество возможных отношений концентрируется в одном «предмете» и посредством него репрезентируется. Без подобной идеальной репрезентации невозможен ни один сколь угодно простой математический объект. «Идеальные» в специфическом смысле слова образования могут обозначаться как «предметы высшего порядка», но они не отделяются от «элементарных» предметов непроходимой пропастью. В обоих случаях работает тот же самый метод, а разница между ними лишь в том, что применительно к идеальным элементам этот метод выступает как своего рода экстракт или квинтэссенция. Даже при самом «простейшем» из мыслимых предметов чистой математики, уже при построении «ряда натуральных чисел», первичным является упорядочивающее отношение, тогда как упорядочиваемое оказывается вторичным и выводным.

Но тогда ничто не препятствует нам распространить это упорядочивающее отношение за пределы той области, где оно впервые применялось. Мы видим, что его значение и творческая энергия не ограничиваются этой областью. Метод, лежащий в основании образования чисел, не исчерпывается формированием целых чисел — даже сами они представляют собой бесконечную и бесконечно сложную структуру. Скорее, каждая обнаруженная в рамках этой структуры система отношений (система, выводимая из производящего первичного отношения) сама оказывается исходным пунктом для нового полагания и для целой группы таких полаганий. Предмет здесь подчиняется только условиям математического синтеза и никаким другим: он есть и он сохраняется, пока сохраняется значимость математического синтеза. Решение о значимости этого синтеза принадлежит не какой-то внешней, трансцендентной «действительности» вещей, но исключительно имманентной логике самих математических отношений. Таков простой принцип, к которому в конечном счете сводятся значимость и истинность всех идеальных элементов. Если уже элементарные формы математики, уже простые арифметические числа, вроде точек и прямых геометрии, понимаются не как единичные «вещи», но всегда определяются как члены еди-

313

ной системы отношений, то идеальные элементы образуют как бы «систему систем». Они состоят из того же самого материала мысли, что и элементарные предметы, и отличаются от них только по способу сплетения — большей свободой понятийного соединения. Наши суждения по поводу идеальных элементов всегда таковы, что их можно преобразовать обратно в суждения относительно первого класса предметов; только субъектами этих суждений становятся уже не единичные предметы, но группы и совокупности этих предметов.

Например, каждое «иррациональное число» берется уже не как сама по себе сущая математическая «вещь», но оно определяется как «срез» (в смысле получившего известность вывода Дедекинда), как совершенное подразделение системы рациональных чисел, причем эта система как целое предпосылается и входит в объяснение иррационального числа. «Расширение» первоначальной области чисел происходит тогда не в том смысле, что к имевшимся ранее индивидам добавляются новые, но так, что на место этих индивидов становятся бесконечные множества с числовыми сегментами, причем именно эти сегменты конституируют новое понятие «реального числа»"³. Мы вообще наблюдаем, что любой «новый» род чисел, по необходимости формируемый математическим мышлением, всегда определим в терминах системы чисел прежнего рода и способен замещать эту систему¹³⁴. Это было хорошо видно уже по введению дробей, поскольку дробь, как подчеркивал Таннери, объяснима не как соединение равных частей целого (так как нумерическое число не допускает разделения и раздробления), но она должна браться, скорее, как совокупность (ensemble) двух целых чисел, находящихся в определенном отношении порядка. Такие «ансамбли» образуют тогда математические предметы нового рода, причем для них возможна дефиниция равенства, большего и меньшего, а также отдельных арифметических операций (сложения, вычитания и т.д.)¹³⁵.

Тот же самый принцип сохраняется при введении идеальных элементов в геометрии. В «геометрии позиций» Штаудта введение «ирреальных» элементов происходит следующим образом: в группе параллельных прямых линий выделяется один момент, относительно которого имеется согласие всех линий этой группы и который фиксируется как их общее «направление». Точно так же всем параллельным плоскостям приписывается как идентичный атрибут некая общая «позиция». Образование понятий продолжается тем же самым образом, а потому прямая линия считается полностью определенной не только посредством двух точек, но также точки и направления, а плоскость — не тремя точками, но также двумя точками и направлением, одной точкой и двумя направлениями, либо одной точкой и одной позицией. Так Штаудт приходит к логической эквивалентности направления и точки, позиции и прямой линии¹³⁶.

Здесь также нет нужды вводить «ирреальные» элементы как индивиды, ведущие какое-то таинственное «существование» наряду с «реальными» точками; единственное логически и математически осмысленное о них суждение относится к существованию тех отношений, что воплощены и выражены в элементах. Однако символическое мышление математики не довольствуется постижением этих отношений in abstracto, но

314

оно требует и создает для логико-математических предметов, находящих выражение в отношениях, определенного рода знаки, а затем рассматривает эти знаки как значимые и целиком легитимные математические объекты. Право на такую замену не вызывает сомнений, если вспомнить о том, что «предметы» математики с самого начала не были выражением чего бы то ни было вещного, субстанциально существующего, но были не чем иным, как выражением функций, «порядковыми знаками». Поэтому всякое продвижение к новым, более сложным отношениям порядка создает, по существу, новый ряд математических «предметов», не обладающих каким-либо созерцаемым «сходством» со старыми предметами и не связанных с ними наличием общей «черты» (которую можно было бы показать изолированно от других). Они родственны им логически, поскольку образованы и построены по сходному мыслительному принципу. Иного и более глубокого «сходства», более строгой, чем эта, «гомогенности» здесь нельзя ни требовать, ни ожидать: «род» математических предметов не устанавливается заранее, до принципа их производства, но определяется тем производящим отношением, что лежит в его основании.

Возможность подобной концентрации всей системы математических высказываний в одном пункте составляет наиболее плодотворный и решающий момент математического образования понятия и теории вообще. Именно это позволяет математическому методу овладевать множеством форм, им производимых, и выдерживать напор все большего их многообразия. Математике нет нужды обрекать все это многообразие на расплывчатую родовую всеобщность, ибо все его составляющие выступают в своей конкретной целостности и определенности, причем математика способна улавливать их именно в этой конкретности. Наука, которая не производит свои предметы конструктивно и синтетически, но эмпирически их «преднаходит», не может обозревать свои объекты иначе как измеряя их шаг за шагом. Она должна постигать это многообразие в том виде, как оно непосредственно дано эмпирическому знанию; она должна добавлять восприятия к восприятиям, наблюдения к наблюдениям. Хотя требование систематической целостности постоянно выдвигается, само это требование остается только мысленным предвосхищением, своего рода petitio principii. Каждый новый аспект эмпирического исследования открывает новую «сторону» предмета. Направленность на целое здесь сохраняется, пока эмпирическое мышление понимается не просто как блуждание, но именно как мышление, как требующая единства и полагающая единство функция; отдельные части «дополняют» здесь друг друга в какой-то обшей картине, но такое дополнение всегда имеет предварительный характер. Любое данное всегда остается лишь фрагментом среди других фрагментов, поскольку мышление здесь исходит не из первичного постижения целого, чтобы затем развить из него единичные определения, но оно пытается постепенно построить это целое, скрепляя друг с другом эмпирические единичные данные. Математика также не была бы синтетически-прогрессирующей наукой, если бы все ее владения были с самого начала даны в готовом виде и их можно было бы сразу обозревать. Интеллектуальный прогресс математики также предполагает постоянное продвижение в неизведан-

315

ные и прежде недоступные области. С каждым созданным математикой новым инструментом мышления она открывает новые определения своей предметной области. Речь тут также идет не о простом подразделении, об аналитическом «разложении» известного, но и постоянном открытии. Но у этого открытия имеется методологическое своеобразие. Дорога здесь идет не прямо от начальных определений и установлений ко все более многообразным и богатым следствиям, но с открытием и завоеванием каждой новой области в новом свете видится и сам начальный пункт. Прогресс мышления включает в себя обращение, возврат к себе самому. Смысл и интеллектуальное содержание математических «принципов» полностью обозримы здесь только после их реализации, и каждое обогащение по ее ходу позволяет глубже видеть сами принципы.

Поэтому можно сказать, что все развитие понятия числа в истории математического мышления — от целых чисел к дробям, от рациональных чисел к иррациональным, от реальных чисел к мнимым — опиралось не на произвольное «обобщение», но в этом развитии происходило разворачивание «сущности» самого числа, постигаемого все глубже в объективной его универсальности¹³⁷. Подобно тому как Гераклит говорил, что в Physis, в действующей природе, «путь вверх» и «путь вниз» один и тот же, так и в идеальном мире математических понятий путь к периферии и путь к центру тождественны. Здесь нет конкуренции или борьбы центробежной и центростремительной тенденций мышления, но обе они требуют друг друга и друг другу способствуют. В этом соединении полярных противоположностей заключается подлинное теоретико-познавательное достижение «идеальных элементов» математики. Все они являются не столько новыми элементами, сколько новыми синтезами. Маятник математического мышления совершает как бы двойное движение: то в сторону отношения, то в сторону предмета. Это мышление постоянно растворяет всякое бытие в чистых отношениях, но оно точно так же соединяет тотальность отношений в понятии единого бытия.

Это относится не только к классам объектов, с которыми имеет дело математика, но и ко всем ее отдельным дисциплинам. Всякий раз обнаруживается, что введение новых плодотворных идеальных элементов математики имеет своим следствием новое, более тесное и более глубокое взаимоотношение математических дисциплин. Их статичное противостояние, свойственный им поиск сравнительно далеких друг от друга объектов, оказывается теперь видимостью: идея mathesis universalis победоносно себя утверждает против всех попыток разбить и разложить целое на частичные области. Приведем хотя бы один пример: более глубокое познание мнимого не только оплодотворило одну дисциплину, но также сломало перегородку, затруднявшую систематические взаимосвязи отдельных областей. Мнимое не задерживается в каждой из них, но пронизывает их все новой формой мышления. Первое историческое применение мнимого, кажется, еще ограничивается арифметикой и алгеброй, прежде всего теорией равенств; начиная с Коши оно навсегда становится достоянием алгебраического анализа. Но развитие на этом не останавливается. В проективной геометрии Понселе мнимое завоевывает теории пространства и создает совершенно новую форму геомет-

316

рического подхода, причем оно не кажется чем-то побочным или внешним, но сознательно ставится в центр геометрического образования понятий — Понселе применяет мнимое на основании общего принципа, определяемого им как принцип «перманентности математических отношений»¹³⁸. Однако наивысшим триумфом мнимого было распространение его на физику, на теорию «познания действительности», в которой применение функций комплексных переменных также стало необходимым средством математического выражения. Теперь мнимое увязывает в один новый узел самые различные содержания и разные провинции математического знания; на место более или менее произвольного обособления приходит отношение взаимного освещения, когда не только данная область выступает в новом свете, но тем самым глубже постигается «абсолютная» природа математического как такового, лежащая в основании всех частных ее форм.

Если прочно держаться этого взгляда, то мы избавляемся от любого «фикционализма» в оценке идеальных элементов. Ядро их объективности тогда можно не искать в данных единичных содержаниях, им соответствующих, но оно обнаруживается только в их чисто систематическом контексте: в истинности и значимости определенного комплекса отношений. Если объяснена эта истинность, то для них закладывается единственно возможный объективный фундамент, а другого для них не только не найти, но и не нужно искать. Смысл идеальных элементов не распадается на единичные «представления» о конкретно созерцаемых объектах, но он различим и постижим только в сложной структуре суждений. Форма математической объективации приводит к тому, что сама эта структура делается предметом и рассматривается как предмет. Однако это не ведет к сносу крепкой перегородки между этой структурой и эмпирическими «вещами», нет, она остается в целости и сохранности. Только разграничение проходит не в пределах математической области, обособляя сферы «ирреальных» и «реальных» элементов, но оно отделяет математический мир в целом от эмпирического мира вещей. Нам нужно либо объявить фикцией всё математическое, либо признать принципиально равную истинность и значимость всего в нем содержащегося, включая наивысшие и «абстрактнейшие» положения. Деление на «реальные» и «ирреальные» элементы, напротив, является половинчатым, а если принимать его всерьез, то оно способно разрушить методологическое единство математики. Именно идеальные элементы и то положение, которое они обрели в системе математики, вновь и вновь свидетельствуют об этом методологическом единстве. Мы прослеживали это по введению мнимых величин, но это — только парадигма, единичный пример куда более широкого общего положения дел. Повсюду, где математическая мысль — чаще всего после долгой подготовки и многочисленных попыток — решалась объединить широкое поле отношений, ранее рассматривавшихся и исследовавшихся по отдельности, собрать их в один интеллектуальный фокус и обозначить их с помощью символа, там, благодаря этому фундаментальному интеллектуально-символическому акту, ранее разбросанное и бессвязное соединялось в единое целое. Поначалу эта целостность выдвигалась лишь как проблема, но уже это предвосхищало ее будущее решение.

317

Одним из наиболее зрелых плодов такого логического процесса был анализ бесконечно малых. Ни ньютоновское открытие флюксий, ни исчисление бесконечно малых Лейбница не привнесли в математическую проблематику своего времени какого-то принципиально нового содержания. Предшествующее развитие целиком подготовило и понятие флюксии, и понятие дифференциала. Мы находим их в самых различных областях еще до того, как они были зафиксированы и получили всеобщее признание: и в динамике Галилея, и в учении Ферма о максимуме и минимуме, и в теории бесконечных рядов, и в так называемой «проблеме инверсии тангенсов». Ньютоновское обозначение χ или лейбницевское  поначалу только указывали и фиксировали точку пересечения исследований, ранее шедших разными путями. Но вместе с определением и символической фиксацией этого пересечения произошла кристаллизация проблемы: все эти пути повели теперь к единой логико-математической форме. Символ вновь продемонстрировал здесь ту способность, которую мы обнаруживали повсюду, в самых различных областях — от мифа к языку, а от языка к теоретическому познанию — способность сгущения. Создание нового символа словно преобразует огромную интеллектуальную энергию, переводя ее из относительно диффузного состояния в концентрированную форму. Напряженное взаимоотношение понятий и проблем алгебраического анализа, геометрии, общей теории движения имелось задолго до этого, но лишь вместе с созданием алгоритма ньютоновского исчисления флюксий и лейбницевского дифференциального исчисления произошла разрядка этого напряжения и была высечена искра. Тем самым открылся путь дальнейшего развития; для этого потребовалось, чтобы новые символы подняли ранее имплицитно содержавшееся в математике до уровня эксплицитного познания.

Именно это дало преимущество лейбницевской форме анализа перед ньютоновской. Исчисление флюксий Ньютона также стремится к свободному обзору проблемы в целом и к подлинной универсальности понятий величины и постоянного изменения. Но это стремление с самого начала наталкивалось на ограничения. Ньютон шел от механики, и его последней целью была механика. Даже там, где его мышление, казалось бы, шло совершенно абстрактными путями, оно всякий раз нуждалось в механистических аналогиях. Поэтому универсальное понятие становления у него целиком ориентировано на феномен движения. В силу этого понятие флюксии, лежащее в основании ньютоновского анализа, имитирует галилеевское понятие момента ускорения и заимствует у него ряд важных характеристик. Метод Лейбница кажется более формальным и абстрактным. Он также идет от динамики, но сама динамика служит у него предварительной ступенью и входными воротами в новую метафизику, к которой и стремился Лейбниц. Поэтому он был принужден с самого начала рассматривать динамику во всей ее универсальности и исключать из базисного понятия силы все доступные созерцанию, позаимствованные у физического движения характеристики. Понятие изменения, служащее фундаментом его анализа, не наполняется поэтому каким-либо определенным, конкретно созерцаемым содержанием, но опирается на «принцип общего порядка» (principe de

318

l'ordre général), обозначаемый и определяемый им как «принцип непрерывности». В отличие от ньютоновского метода «первых и последних отношений», фундаментальная проблема анализа не переходит здесь в форму проблемы движения, но сама теория движения с самого начала мыслится как частный случай, подпадающий под универсальное логическое правило — наряду с теорией рядов или геометрической проблематикой квадратуры кривых линий.

В этом смысле арифметика, алгебра, геометрия и динамика вообще перестали быть для Лейбница самостоятельными науками — они сделались «пробами» (échantillons) универсальной характеристики¹³⁹. С точки зрения этой характеристики, призванной служить общим и общезначимым языком математики, все области, считавшиеся ранее обособленными, оказываются теперь просто разными идиомами. Логика науки может и должна преодолеть эту идиоматику, ибо логика обладает способностью подниматься до высших отношений мышления, имплицитно содержащихся во всех частных соединениях. Правомерность таких соединений определяется основополагающими отношениями. Поэтому истинная универсальность мышления проистекает из универсальности знаков. Обосновывая введение и применение «бесконечно малых» величин, Лейбниц охотно приводит пример мнимых чисел; эта аналогия становится логически понятной лишь с учетом рассмотрения нашей основной проблемы. Общей и связующей здесь является теория символа, выдвинутая логиком-идеалистом Лейбницем и предполагаемая им при построении всей математики. В ней сходятся все нити, соединяющие частные науки сначала с общим наукоучением, а затем и со всей системой его философии.

Если мы еще раз бросим взгляд на целое математического образования понятий, то оказывается, что оно всегда держалось того пути, который еще в начальный период научной математики был пророчески предвиден Платоном. Его постоянной целью было «определение» — преодоление άπειρον посредством πέρας. Всякое математическое образование понятий начинается с того, что мысль хоть и не целиком избавляется от данного созерцанию и представлению, но пытается освободиться от текучести и неопределенности созерцания. Она заменяет переменчивую окраску, незаметные переходы друг в друга чувственно созерцаемых данных строгими и ясными подразделениями. Пока мы остаемся в кругу восприятия или созерцания, такие подразделения отсутствуют. Здесь нет «точек», «линий», «плоскостей» в том смысле, какой математика связывает с этими понятиями. Только вместе с аксиоматическим мышлением появляются сами возможные субъекты для любого математического высказывания. Феликс Клейн даже определял аксиомы как условия того, что мы способны подняться над неточностью или ограниченной точностью созерцания к безграничной точности¹⁴⁰. Вейль сходным образом замечает (противопоставляя «созерцательный» и «математический» континуумы), что последнего никак не достичь, пока в поток созерцания мышление не поместит точные элементы, пока строгое понятие «реального числа» не будет привнесено в неопределенную множественность созерцания. И речь здесь идет, подчеркивает Вейль, не о «схематизирующем насилии» или о практической «экономии мышления», но о деянии разума, прони-

319

зывающего данное и поднимающееся над ним¹⁴¹. Истинное интеллектуальное чудо математики заключается, однако, не в том, что ее с самого начала определяет такое «пронизывание» и в ней ему нет конца но в том что оно заново повторяется на каждой ее ступени. Именно оно предохраняет математику от превращения в неподвижный агрегат аналитических суждений и вырождения в пустые тавтологии. Единство и целостность математического метода покоятся на том, что творческая функция благодаря которой возник этот метод, нигде не успокаивается но действует во все новых формах и утверждает себя в них как единое и несокрушимое целое¹⁴².

320