Положение «знака» в теории математики

Если мы еще раз посмотрим на различные попытки обоснования числа, представленные в современной математике, то самой бросающейся в глаза их чертой оказывается то, что каждая из них приходит в конечном счете к точке, где компетенции чистой математики начинают отказывать. Математическая проблематика подводит к проблемам, имеющим иной смысл и иной источник. Решение их отнимается у математики и передается «мировоззрению» отдельных исследователей. Уже Пауль Дюбуа-Реймон в своей «Общей теории функций» сделал этот парадоксальный вывод, объявив, что борьба между «идеалистами» и «эмпиристами» не имеет решения по строго объективным, общезначимым критериям, но здесь мы входим в область, где вступает в свои права философское вероисповедание индивида.

Действительно, учение Брауэра часто называлось «продуманным до самого конца математическим идеализмом», тогда как теории Фреге и Рассела обладали несомненным родством с определенными направлениями классического «реализма». Но подобно тому как в средневековом универсализме проблема достигла новой фазы развития вместе с появлением нового философского учения У. Оккама (так называемого «терминизма»), так и сегодня мы наблюдаем аналогичное развитие в лагере чистой математики. В борьбе за «объективность» математики произошла как бы смена фронтов, когда вопрос стал касаться не математических пред-

300

метов как таковых, но был направлен на математические знаки. По ту сторону «идеализма» и «реализма» теперь поднимается и набирает самостоятельную силу «формализм». Кажется, что вместе с его появлением была окончательно преодолена опасность выхода за пределы математики, методического μετάβασις εις άλλο γένος. Математика способна спасти свою автономию только превратившись в чистое учение о «знаке». В сегодняшней математике этот вывод был наиболее четко сделан Гильбертом. Он ведет острую полемику с интуиционизмом, стремясь охранить честь «классической» формы анализа и теории множеств. Но в то же самое время он в высшей степени критичен по отношению к «свободному» образованию множеств и полон недоверия к «трансфинитным» выводам теории множеств. Поэтому он отвергает как «интуиционизм», так и «крайний понятийный реализм», чьим воплощением он считает учение Фреге. Хотя идея Дедекинда — обосновать конечное число бесконечным, «системой всех вещей» —представляется ему блестящей и соблазнительной, Гильберт подчеркивает, что этот путь оказался недостижимым в силу парадоксов теории множеств¹²⁰.

Тем не менее мы упустили бы своеобразие учения Гильберта, если бы стали рассматривать его как некий средний путь между двумя крайностями. Скорее, он стремится к полной интеллектуальной переориентации. Абстрактное оперирование с универсальными понятийными объемами и содержаниями, подчеркивал Гильберт, всякий раз заводило математическое мышление в тупик. С этим методом нам следует порвать, чтобы найти новый путь, где мышление не только следует некоему заранее предписанному плану, но одновременно на каждом шагу подвергается проверке. Такую критическую инстанцию Гильберт пытается создать своей «теорией доказательства». В ней он вновь обращается к «универсальной характеристике» Лейбница, доводя эту мысль до четкой и заостренной формы. Процесс «верификации» смещается от содержательного мышления к «символическому». Предварительным условием применения логических выводов и логических операций всегда должны быть какие-то чувственно созерцаемые характеры (знаки). Только в них мышление находит надежную путеводную нить, и оно должно ей следовать, чтобы избежать всех уводящих в сторону троп. Гильберт так излагает свой взгляд в целом: «Держась этой точки зрения, диаметрально противоположной Фреге и Дедекинду, я нахожу предметы теории чисел в самих знаках, чья форма универсальна и надежна, независима от места и времени, от особых условий возникновения знаков, равно как от второстепенных различий, появляющихся при их разработке. Такова прочная философская установка, которую я считаю необходимой для обоснования чистой математики, равно как и всякого научного мышления вообще, для понимания и общения. Мы можем сказать о ней: "В начале был знак"»²¹.

Если всерьез принять эту установку, то вся чистая математика превращается в своего рода игру. Ведь если знак не просто играет роль посредника, репрезентируя определенные идеальные положения вещей, но сам становится предметом математики (поскольку он образует созерцаемые группы и «формулы»), то подобный подход ведет к кругу, к замкнутости на самом себе. С совершеннейшей надежностью совершается движение по кругу, но у него уже нет направленности вовне, нет цели. Обосновы-

301

вая свой подход, Гильберт ссылается даже на Канта. Смысл «трансцендентальной эстетики» кажется ему состоящим в том, что из одной логики не создать математики, но всегда неизбежно обращение к «созерцанию». Однако последнее понимается Гильбертом совсем не в смысле кантовского «чистого созерцания» — оно берется не как «априорная форма», но как конкретные чувственные данные. «Чтобы логический вывод был надежным, мы должны всесторонне обозревать объекты; их присутствие, их различия, их следование друг за другом или параллельное сосуществование должны быть непосредственно даны нашему созерцанию вместе с объектами, как нечто несводимое к другому и не нуждающееся в редукции... В математике предметами нашего рассмотрения являются сами конкретные знаки, форма которых, в соответствии с нашей установкой, является непосредственно ясной и распознаваемой»¹²².

Ссылаясь на эти суждения Гильберта, его иногда считали своего рода «интуиционистом». Но эта внешняя аналогия исчезает, стоит нам подойти чуть ближе к предпосылкам его системы. В ее рамках созерцание занимает совсем другое место, чем в интуиционистском обосновании математики, и совсем иначе применяется. Оно играет не активную, как там, а пассивную роль, будучи своего рода «данностью», а не способом ее полагания. Для интуиционистов «первоначальная интуиция» целого числа означает конструктивный принцип, из непрерывного применения которого происходит бесконечное многообразие чисел-индивидов; для Гильберта задача созерцания исчерпывается тем, что оно наделяет нас некими внелогическими дискретными объектами, просто принимаемыми как непосредственные переживания, данные до всякого мышления¹²³. Правда, в символической математике Гильберта знаки все же не следует понимать как сингулярные вещи, демонстрируемые простым актом указания, как «то» и «это», как τόδε τι. Они могут в немалой степени варьировать в ряде определений, например, в зависимости от того материала, из какого они образованы, по цвету, по величине и т.д., не переставая быть «теми же самыми» знаками. Сами по себе различные чувственные содержания могут функционировать как «те же самые» знаки: они по-прежнему узнаваемы при всех расхождениях в отдельных своих чертах. Тем не менее Гильберт однозначно считает, что математическое мышление не обязано замещать знак каким-либо абстрактным «значением», но должно держаться конкретно созерцаемых форм и с их помощью прокладывать себе дорогу. «Формализация» процессов математического вывода, по Гильберту, должна дойти до такой степени, когда любое мыслимое противоречие непосредственно дает о себе знать при появлении определенной констелляции знаков. Стоит общей «теории доказательства» подойти к этой стадии, как мышление освобождается от необходимости обращаться к содержанию. Скрытые в нем возможные противоречия теперь не нужно мучительно отыскивать с помощью трудного «дискурсивного» процесса, но они как бы сами прямо «бросаются в глаза». Где бы по ходу доказательства ни возникали запрещенные общей теорией формулы, их появление сразу говорит о противоречии. И наоборот, отсутствие в сколь угодно долгой цепи таких «запретных» формул доказывает ее непротиворечивость. Мы видим, что здесь современный математический «терминизм» идет в том же направлении, которое было определяющим для раз-

302

вития логического терминизма в Средние века. Для последнего слова стали пустыми звуками, flatus vocis, подобно тому как для первого знаки сделались созерцаемыми фигурами, лишенными «смысла». Противники теории Гильберта своими возражениями всякий раз касались этого пункта. Они замечали, что если теория доказательства Гильберта обосновывает истинность математики, то она превращается в то же самое время в чудовищную тавтологию: присущая ей значимость уже является не значимостью объективного познания, но значимостью конвенциональных правил игры, сравнимой с шахматами. Для интуиционистов в математических символах выражаются существенные особенности человеческого интеллекта, для формалистов эти символы оказываются «знаками на бумаге»¹²⁴.

Но и выдвигающий эти возражения Вейль сталкивается с трудностями в своих попытках преодолеть негативный тезис конвенционализма и заменить его позитивной программой. Он стремится показать объективное значение математических символов двумя различными путями, рассматривая их то с точки зрения физического применения, то sub specie метафизики. Если математика представляет собой «серьезную часть культуры», то с формальной игрой Гильберта должен быть связан хоть какой-то смысл. Но где находится то объективное, на которое направлены математические символы? «Его не найти, пока математика не будет целиком слита с физикой и без предположения, что математические понятия числа, функции и т.д. (либо символы Гильберта) столь же участвуют в теоретической конструкции действительного мира, как понятия энергии, гравитации, электрона и им подобные». Но и этого недостаточно: трансфинитные элементы математики, далеко выходящие за рамки требуемого физикой, также должны наделяться самостоятельным значением. Мы не можем отказаться от идеи такого значения, но мы не должны закрывать глаза на то, что тем самым вступаем в область, доступную не созерцанию, но вере. «В теории сознанию удается "перепрыгнуть свою собственную тень", оставив позади материю данного и представляя трансцендентное; но достигается это, разумеется, лишь с помощью символа. Теоретическое образование отличается от интуитивного видения; его цель не менее проблематична, чем у художественной формы. Над идеализмом, призванным сокрушить в теории познания абсолютизированный наивный реализм, возвышается третье царство... Если я обозначу феноменальное видение как знание, то теоретическое видение опирается на веру — веру в реальность собственного и чужого "Я", в реальность внешнего мира или в реальность Бога»¹²⁵.

Здесь мы сталкиваемся с острейшим противоречием, доминирующим в споре о методе в современной математике. Математические знаки можно рассматривать либо как цель в себе, как истинный предмет математического познания, либо они требуют того, чтобы в них вдохнули некую духовную жизнь извне, что возможно лишь в том случае, если они соотносятся с чем-то другим, лежащим за их пределами, а сами понимаются как символические репрезентации этого иного. Но стоит вступить на этот путь, стоит наделить математические фигуры «преходящим» смыслом, как мысль, кажется, утрачивает все границы — от преходящего значения она неизбежно движется к трансцендентному значению.

303

Однако, подойдя к этому пункту в рассмотрении сегодняшнего теоретико-познавательного положения математики, нам следует остановиться и вновь бросить взгляд на нашу основную проблему. Ее изучение показало нам, что встретившаяся дизъюнкция не является полной и строгой. По ходу нашего исследования мы раз за разом убеждались в том, что подлинное понятие «символического» не вмещается в традиционные метафизические классификации и дихотомии, но взрывает их рамки. Символическое никогда не принадлежит «посюстороннему» или «потустороннему», имманентному или трансцендентному, но его ценность заключается именно в том, что им преодолевается эта оппозиция, проистекающая из метафизической теории двух миров. Оно не является ни одним, ни другим, но представляет «первое во втором» и «второе в первом». Так, язык, миф и искусство конституируют самостоятельные структуры, получающие свою ценность не путем отображения какого-либо внешнего и потустороннего бытия. Каждая из этих форм обретает свое содержание за счет построения собственного для нее внутреннего закона формирования, дающего своеобразный и автономный замкнутый смысловой мир. Во всех них, как мы видели, действует принцип «объективного» формирования. Они представляют собой модусы «становления к бытию», , как говорил Платон.

Если это общее воззрение мы применим к миру математики, то и здесь мы поднимаемся над альтернативой: либо растворить символы математики в «простых» знаках, в созерцаемых фигурах без смысла, либо наделить их трансцендентным смыслом, достижимым лишь посредством метафизической или религиозной веры. В обоих случаях мы упускаем собственное значение символов. Это значение заключатся не в том, каковы они «в себе», и не в том, что они «копируют», но в специфической направленности идеального формирования — не в том внешнем объекте, на какой они нацелены, но в определенном способе объективации. Мир математических форм есть мир форм порядка, а не вещественных форм.

Поэтому их «истинность» определяется не тем, что мы отнимаем у представляющих их знаков сигнификативное значение, оставляя лишь их вещественно-физическое содержимое¹²⁶; и не тем, что мы указываем на какие-то существующие индивидуальные предметы, которым непосредственно соответствуют знаки. Скорее, специфическая ценность математического и его quid juris раскрываются тем, что мы указываем его место в целостности познавательного процесса объективации. Математическое представляет собой необходимый момент этого процесса, а не часть или отображение трансцендентной действительности — независимо от того, рассматривается последняя физически или метафизически. Если мы держимся этой точки зрения, проходившей красной нитью сквозь все наше исследование, то проясняются и те трудности, которые возникли в связи с отношением математического к логическому, равно как в отношении математического к «созерцаемому» бытию. Имеющиеся между ними различия видны во всей своей остроте лишь там, где мы понимаем и оцениваем их не как вещественные, но как функциональные различия. Логический мир, математический мир и эмпирико-предметный мир обладают общим основанием, поскольку все они коренятся в одном и том же первичном слое форм отношения. Без этих форм,

304

без категориальных определений, вроде единого и иного, тождества и различия, было бы равным образом невозможно улавливать и целое логических предметов, и совокупность математических предметов, и порядок эмпирических объектов. Но от логического к эмпирическому, от чистых форм мысли к предмету опыта нас ведет своего рода лестница, где математическое является одной из необходимых ступеней. В сравнении с логическим, математический предмет уже выступает в многообразии новых «конкретных» определений; к форме полагания, различения, отношения вообще математический предмет добавляет определенный способ полагания, специфический модус упорядочения, представленный системой чисел и «рядом натуральных чисел». В то же самое время этот новый модус оказывается необходимым предварительным условием и подготовительной стадией упорядочения мира восприятия, а тем самым и предмета, называемого нами «природой». Но и здесь объективное значение математического заключается не в том, что он обладает какими-то непосредственными коррелятами в физическом мире природы, но в том, что этот мир строится в согласии с его структурой, по которой мы учимся понимать природные закономерности. В этом смысле логический предмет указывает на математический, а математический — на эмпирико-физический предмет. Не потому, что один может в каком бы то ни было смысле считаться копией или отображением другого, но потому, что каждый из них представляет собой определенную стадию полагания предмета, потому, что принцип познания включает в себя требование, согласно которому все эти стадии должны рассматриваться не по отдельности, но в их взаимосвязи.

Только на основе такого воззрения мы можем получить удовлетворительный ответ на вопрос об «истинности» математических символов. Ибо теперь нам для этого нет нужды прямо соизмерять математические понятия с «абсолютной» действительностью вещей, но сопоставление касается, с одной стороны, математической формы познания, а с другой — логической и физической форм познания. Итогом такого сравнения является то, что ни одна из этих форм сама по себе не образует объективного «бытия» и сферы объективно-теоретической значимости, но они строятся в их взаимной связи и в их взаимопроникновении. Ни одна из них не приходит к совершенно изолированным истине и значимости, но все они обладают ими в целом, в иерархии и в системе познания. Поэтому мы не можем — вслед за Вейлём — проводить жесткую разграничительную линию между областями «созерцания» и «теоретического образования», приписывая одной из них «знание», а другой «веру». Для нас нет обособленных и существующих «в себе» созерцаемых «переживаний», которые уже не были бы наполнены какими-либо теоретическими функциями значения и не были бы в соответствии с ними уже сформированы. Точно так же не существует и значения «в себе», не реализующегося тем или иным образом в созерцании. Мы постигаем «значение» не иначе как через отношение к «созерцанию», тогда как никакое созерцание не может быть «дано» без отсылки к значению. Если мы прочно держимся этого воззрения, то нам уже не грозит опасность того, что символическое в нашем познании расколется на «имманентную» и «трансцендентную» составля-

305

ющие. Символическое есть, скорее, единство имманентного и трансцендентного: принципиально не созерцаемое содержание выражается в созерцаемой форме.

В таком случае в новом свете видится и ценность строго «формалистического» строения математики, которую трудно переоценить; вряд ли будет преувеличением, если мы скажем, что свой ранг и свою славу «строгой науки» математика может оправдать и сохранить лишь при доведении до конца задачи «формализации», провозглашенной Гильбертом. Правда, тогда произошло бы логическое чудо, заложенное в сущности самого математического: вопрос о бесконечном решается посредством «финитных» процессов. Гильберт считает подлинным преимуществом своей теории то, что в ней идея бесконечного методологически обосновывается посредством конечного¹²⁷.

Но сколь бы настоятельной для совершенства математики ни была реализация строго формалистической позиции, технически-математический интерес все же не совпадает с теоретико-познавательным. Критическая теория познания должна стремиться к установлению единства двух моментов, вполне оправданно разводимых математической абстракцией. Действительно, с точки зрения теории познания «формализм» и «интуиционизм» не исключают друг друга: уловленное чистой интуицией значение должно удерживаться в процессе формализации, чтобы всегда оставаться в распоряжении мышления. В этом смысле еще Лейбниц, один из самых последовательных представителей формалистической точки зрения, не разделял «интуитивное» и «символическое» познание, но неразрывно их соединял. Первое из них для него закладывает основания математики, второе заботится о том, чтобы из этих основоположений выводились следствия без каких-либо разрывов в цепи доказательств. На этом пути мышлению нет нужды на каждом шагу оглядываться на сами идеи — оно может удовлетворяться операциями со знаками, замещающими операции с идеями. Однако в конечном счете оно всегда достигает пункта, когда следует задать вопрос о «смысле» знака, когда требуется содержательная интерпретация выраженного и представленного знаком. Поэтому математический символизм сравнивался Лейбницем с телескопом и микроскопом. Как бы ни были они нужны человеческому зрению, они не способны его заменить. Будучи формой интеллектуального зрения, математическое познание опирается на изначальную и самостоятельную функцию разума, которая использует символические характеры (знаки) в качестве орудий. Даже колоссальное расширение и углубление математического формализма у Гильберта никак не принуждает нас к пересмотру этого принципиального решения. Построение и разработка системы знаков были бы невозможны для Гильберта, если бы он не положил в ее основание в качестве «первичных понятий» порядок и последовательность. Даже будучи простыми знаками, числа у Гильберта все же остаются знаками места: они наделены неким «индексом», показывающим способ их следования друг за другом. Даже если мы рассматриваем единичные знаки исключительно как данные созерцанию внелогические дискретные объекты, сами эти объекты в их тотальности выступают не как независимые друг от друга элементы, но обладают определенной артику-

306

ляцией. Если мы исходим из О как начального знака, то от него мы идем к ближайшему знаку О',от него к О'' и т.д. В конечном счете это означает, что для надежного различения единичных знаков нам следует подразделять их в соответствии с определенным порядком, а такие подразделения, по существу, уже являются «числами» в содержательном смысле слова. Те штрихи, которыми мы пользуемся для отличения О от О', О" и т.д., функционируют уже как числа в смысле чисто «порядкового» выведения понятия числа. В целом мы можем сказать, что «интуитивное» мышление закладывает фундамент здания математики, тогда как символическое мышление занято его построением и обеспечением его безопасности.

С теоретико-познавательной точки зрения две эти задачи принадлежат как бы двум различным уровням. Для Гильберта суждение: «В начале был знак» значимо потому, что основную задачу своей теории он видит в устранении заблуждений, в защите математики от противоречий. Но то, что служит защите от заблуждений, еще не обязательно является достаточным основанием истинности. Последнее обнаруживается только в синтезах мышления, обосновывающих построение определенной предметной области и делающих возможным освоение ее посредством всеобщих законов. Наряду с аналитической логикой, дающей полный и целостный обзор найденного в его систематической связи, Лейбниц выдвигает logica inventionis, логику открытия. В духе этого различения можно сказать, что формализм представляет собой необходимый инструмент логики найденного, но он не раскрывает принципа математического «открытия». Гильберт как-то заметил, что цель его теории — навечно защитить государственную власть математики от всяких «попыток путча», направленных против классического анализа¹²⁸. Но даже если бы теория доказательства однажды вполне достигла этой цели, логик и теоретик познания все же могли бы задать вопрос: являются ли силы, привлекаемые для охраны математической государственной власти, теми же силами, что утвердили господство математики в царстве духа, а затем постоянно его расширяли и приумножали? Формализм представляет собой несравненное средство «дисциплины» математического разума, но им нельзя ни объяснить содержания математики, ни легитимировать ее в «трансцендентном» смысле.

В то же самое время одним из важнейших достижений формализма следует считать то, что он вновь обращается к проблеме, лежавшей в центре интереса философии математики с тех пор, как она была возрождена Декартом. Формализм в немалой мере способствовал решению этой проблемы. Декарт различал два основных источника математической достоверности: интуицию и дедукцию. Первая дает принципы, не нуждающиеся в дальнейшем обосновании, поскольку они непосредственно высвечиваются «светом разума». Этот свет не уменьшается и не затемняется: все им освещаемое улавливается целиком, безраздельно и с безусловной ясностью и достоверностью. Иначе обстоят дела с теми суждениями, которые не самоочевидны, но могут быть выведены из очевидных аксиом с помощью доказательств. Здесь мышление принуждено действовать «дискурсивно»: оно не обозревает одним взглядом связываемые друг с другом идеи, но соединяет их большим или меньшим числом опосредующих зве-

307

ньев, помещаемых между ними. Но так как эти опосредующие звенья никогда не даны уму сразу в истинном единстве, так как ум может продвигаться от одного из них к другому только последовательно, то в этом процессе он неизбежно сталкивается с неопределенностью, характерной для всякого становления. Продвигаясь от одного звена доказательства к следующему, он не должен терять из виду предшествующие, но должен воспроизводить их, никогда не будучи до конца уверенным в точности такой репродукции. Теперь он вынужден полагаться не на достоверность интуиции, а на надежность памяти, т. е. познавательной функции, в принципе допускающей разного рода сомнения. Методологическое сомнение Декарта имеет своей вершиной правило, утверждающее, что мы не должны доверять такой способности разума, которая хотя бы раз подозревалась нами в заблуждении или в ложном выводе. Существует ли способность более отягощенная такими выводами, чем способность воспроизведения с недостоверностью ее воспоминаний?

Дедукции, а тем самым и ядру математического метода доказательств в таком случае угрожает скептицизм. Здесь появляется картезианская фикция «злого демона», способного обманывать нас по видимости самыми достоверными заключениями. Ведь даже при формальной правильности применения всех правил мышления всегда остается возможность того, что содержание мышления повторяется не в своей самотождественной определенности, но незаметно трансформируется и подменяется. Как известно, Декарт считал, что из этого лабиринта имеется не теоретико-познавательный, но только метафизический выход: призвание на помощь «не обманывающего нас» Бога не столько умеряет и разрешает сомнения, сколько их отметает. Именно отсюда берет свое начало предложенное Лейбницем развитие методики и техники математического доказательства. Можно исторически показать, что скепсис Декарта относительно надежности дедуктивного метода стал движущей силой лейбницевской «теории доказательства». Чтобы математическое доказательство было обязательным и обладало убедительностью, оно должно покинуть сферу достоверности воспоминаний и подняться над нею. Место последовательности шагов мышления должна занять единовременность обозрения. Это достижимо только с помощью символического мышления: сама его природа такова, что оно оперирует не содержаниями мысли, но приписывает каждому из них определенный знак. Благодаря такой их корреляции символы достигают сгущения, позволяющего сконцентрировать все звенья сложной цепи доказательств в одной формуле и одним взглядом охватить расчлененную целостность. «Формализация» Гильбертом логических и математических процессов вывода воскрешает лейбницевскую «универсальную характеристику». Сегодня, благодаря расширению предметной области математики и необычайной тонкости и глубине ее понятийных средств, стало возможным действительное осуществление замысла Лейбница. Поэтому вполне понятно внимание, уделяемое Гильбертом математической трансформации объектов, — в результате мы можем обозревать все их составные части и способны надежным образом их распознавать. Не вещи, но знаки способствуют такой «рекогниции», делая мышление принципиально независимым от опасной двусмысленности простой репродукции.

308