Построение теории множеств и «кризис оснований» математики

«Парадоксы теории множеств», давшие решающий толчок к ревизии основных принципов современного анализа, выступают в математической мысли в различных формах, но с чисто методологической точки зрения они сводятся к одной понятийной формуле. Каждый из этих парадоксов включает в себя вопрос, допустимо ли (и если да, то насколько) ограничение круга предметов посредством одного понятийного «признака», так, что мыслимая совокупность этих предметов представляет собой однозначно определенный и значимый математический «объект». На начальном этапе разработки теории множеств математическое мышление полностью доверяло следующему способу образования объектов: множество считалось ясно определенным предметом, если был дан критерий, на основании которого по поводу любой вещи решалось, принадлежит ли она данному множеству как элемент. Этого требования казалось достаточно для «дефиниции» множества и обеспечения его «существования» как легитимного математического предмета. Что касается принадлежности элементов множеству, было достаточно решить этот вопрос в принципе, не вдаваясь в каждый отдельный случай. Например, множество «трансцендентных чисел» «существовало» в указанном выше смысле, даже если имеющиеся на сегодня математические знания не дают возможности утверждать, принадлежит ли к нему число π^π101. Согласно этому взгляду множество фактически «дано», если посредством какой-либо дефиниции из круга мыслимого вычленяется некая область и все ее элементы мыслятся как объединенные в одну совокупность. Способ такого объединения не ограничивается здесь никакими условиями. Равенство по отноше-

292

нию к определяемому свойству является единственной связью, требуемой от членов множества. Если она имеется в наличии, то не требуется никаких других «внутренних связей», соединяющих эти члены друг с другом. Множество с самого начала характеризуется формой «агрегата», а не специфической «системы», а это означает, что в ней может объединяться в понятии все что угодно, независимо от любого качественного смыслового «родства».

Если учесть этот исходный пункт теории множеств, то нет ничего удивительного в том, что ее применение должно было, в конце концов, столкнуться с границами, которые можно назвать границами «специфического смысла». Стоит нам вообще признать, что в царстве мыслимого действуют какие бы то ни было специфические смысловые законы, как раньше или позже перед произвольным соединением «всего со всем» должны возникнуть границы. Тогда о себе заявляют некие фундаментальные законы связи, согласно которым одни единства признаются допустимыми и предметно значимыми, тогда как значимость других оспаривается. Образования последнего рода и были обнаружены математикой XIX в. как антиномии теории множеств. Поначалу не было единства мнений относительно разрешимости этих антиномий и пути их решения; одно было ясно — прежнее «свободное» определение множеств следовало оставить. Признаваемое теперь неизбежным ограничение сначала понималось в чисто «формальном» смысле в духе «аксиоматического мышления». Произвол в дефиниции множеств, равно как в высказываниях по поводу их элементов, ограничивался установлением определенных аксиом, что позволяло избегать противоречий в рамках теории множеств. В то же самое время, наложение таких ограничений оставляло в неприкосновенности объем и применимость этой теории¹⁰².

Логических предосторожностей такого рода казалось вполне достаточно для технических потребностей математики. Исследования Цермело об основаниях теории множеств и теория типов Рассела держались этого пути. Например, теория типов воспрещала допуск в легитимную математику определенного метода образования множеств — так называемого «непредикативного» метода, для которого понятие, принадлежащее к некой совокупности как ее член, так определено, что совокупность в целом подпадает под это определение¹⁰³. Было установлено, что ни одна совокупность не должна включать в себя члены, определяемые лишь с помощью этой совокупности. Но даже если с установлением таких запретов удавалось избегать появления противоречий, сам этот метод вызывал принципиальный вопрос. Аксиоматика давала чисто содержательные запреты, но она ничего не говорила о своем собственном методологическом «основании». Значение какой-либо аксиомы — например, пропозиции, введенной Расселом как «аксиома нередуцируемости», — доказывается ее благотворными последствиями (исключением «парадоксальных» множеств), но оно не постигается в своей внутренней необходимости. Мы знаем о ее фактической применимости, но не знаем, почему она применима. Аксиоматика способствует тому, что мы избегаем симптомов заболевания, но остается сомнение в том, что мы тем самым правильно поставили диагноз и вылечили ту болезнь, которая проявилась в этих симптомах. До тех пор, пока у нас нет такого рода уверенности, нам грозит

293

прорыв этих симптомов в другом месте. Эту ситуацию метко охарактеризовал Френкель: «Ограда аксиоматики, говоря словами Пуанкаре, охраняет находящееся под защитой закона мирное стадо овец безупречной теории множеств от нападок парадоксов в волчьей шкуре. Прочность ограды не вызывает сомнений. Но кто может гарантировать, что в огороженных пределах по недосмотру не осталось нескольких волков, готовых в один прекрасный день наброситься на овечье стадо и опустошить это царство, как они это проделали в начале нашего века? Иначе говоря, как нам застраховаться от того, что сами аксиомы в скрытом виде не содержат в себе семена еще неизвестных нам противоречий, способных взойти при взаимодействии выводов из этих аксиом?»¹⁰⁴ Чтобы достичь не временной, но постоянной страховки, современная математика должна была вернуться к центральному пункту этой полемики, к проблеме математической дефиниции и математического «существования». Вновь вступает в свои права различение номинальной и реальной дефиниций, четко и ясно зафиксированное еще Лейбницем¹⁰⁵. Не всякое соединение словесно выразимых признаков достаточно для определения математического предмета и обеспечения его «возможности». Скорее, установление этой возможности в каждом случае требует замены слов смыслом и принятия решения по критериям этого смысла¹⁰⁶. Мы не можем оперировать множествами — прежде всего бесконечными — без ответа на вопрос о том, как подобные множества вообще могут быть «даны» мышлению. «Парадоксальные» множества с особой отчетливостью показывают, что эта «данность» никогда не является неким коллективным актом, что она не происходит из «сбора» каких угодно элементов, определяемых лишь наличием у них какого-то общего «свойства». Требование объединения всего того, что обладает этим свойством, представляет собой лишь постулат, чья выполнимость еще совсем не гарантирована. Не коллективное, но «конститутивное» единство закона определяет построение множества; именно оно способно развеять сомнения относительно его выполнимости, поскольку закон охватывает не только бесконечность возможных случаев его применения, но сами они проистекают из закона.

Однако вместе с таким воззрением современная математика возвращается к тому пункту, откуда начинал свой путь Лейбниц как методолог математического мышления. Она заново переосмысливает связь между подлинной «реальной дефиницией» и «генетической дефиницией». В этом смысле Вейль также замечал, что для достижения поистине надежного фундамента анализа мы должны исходить из метода «итерации». Теория чисел вновь становится ядром математики, а тем самым категория «натурального числа» вместе с ее изначальными отношениями, через чье посредство выражается отношение «непосредственного следования» в порядке чисел, определяет «абсолютную область оперирования» математики. Из процесса итерации, из возможной профессии в бесконечность числового ряда, выводятся фундаментальные положения относительно натуральных чисел, на которых логически базируется вся чистая математика¹⁰⁷.

С точки зрения теории познания в этом основоположении существенно то обстоятельство, что здесь в полном объеме признается примат понятия функции над понятием вещи. Когда математика возвращается к

294

«первоначальной интуиции» числа, то эта интуиция означает никак не созерцание конкретных вещей, но созерцание чистого процесса. Исходным пунктом выступает некая область операций, и только они ведут нас затем к индивидам, обозначаемым нами как «числа». «Наличие» этих индивидов доказывается не иначе как обнаружением принципа, полагающего их в бесконечности по заранее определенным правилам. Только такое их полагание позволяет целиком овладевать этими индивидами, ибо знание «закона» в строгом смысле слова предшествует знанию тех, кто «следует закону». Только из сферы числовых операций разворачивается сфера счетных и сосчитанных вещей. Современный «интуиционизм» может целиком развить свою критику оснований математики, лишь будучи пронизанным идеалистической мыслью и считая себя ее выражением. Сам идеализм должен пониматься как строго «объективный» идеализм: предметная область математики должна базироваться не на психологических актах счета, но на чистой идее числа.

Если я не ошибаюсь, именно ударение на этом моменте дает преимущества формулировке «интуиционизма», предложенной Вейлем, над версией «интуиционизма» Брауэра. В основоположениях анализа Брауэр также исходит из процесса итерации. По его мнению, анализ начинается с полагания многообразия, полностью определимого единственным упорядочивающим отношением¹⁰⁸. Тогда принцип интуиционистской математики заключается в том, что все предметные области, на которые он распространяется, опосредованно соотносятся с этой первоначальной и базисной схемой и формулируются по ее образцу. Из этого следует, что повсюду, где математика говорит о «существовании», ценность представляют не теоремы существования, но проводимая в доказательстве конструкция. Брауэр говорит в этом смысле, что вся математика «значительно больше является действием, чем теорией». Но тогда следует пояснить, как понимается действие в границах математики. Математическое «действие» является чисто интеллектуальным действием, не протекающим во времени, но представляющим собой основание, на коем покоится само время, делающим возможной «рядоположенность». Базисная операция, выступающая как фундамент царства чисел, не распадается на агрегат отдельных действий, находящихся в отношении эмпирического «следования», когда целое строится их последовательностью. Целое здесь строго предшествует частям: в том смысле, что принцип операций — производящий их закон — находится в начале, а все отдельные акты полагания получают от него свой смысл. Этот принцип не создается движением от одного члена ряда к другому, но им только эксплицируется: такое движение является своего рода истолкованием его значения. Математическое «действие» поэтому есть универсальное действие, охватывающее одним-единственным основоположением бесконечность возможных частных актов и делающее их обозримыми. Исходное упорядочивающее отношение скрывает в себе всю область возможных предметов, причем для обретения и утверждения этой области не требуется указывать на единичные предметы в их индивидуальности и в этом смысле их «конструировать».

В предложенной Брауэром версии «интуиционизма» нет четкого разграничения этих двух моментов. Кажется, для каждого математического высказывания в форме «имеется» он требует единичного акта обоснова-

295

ния этой «данности», но тем самым возникает угроза стирания границ между чисто идеальной и эмпирической данностями. Для проведения этих границ можно было бы вернуться к различению, проводившемуся Лейбницем в другом проблемном контексте. В своей критике ньютоновских понятий абсолютного пространства и абсолютного времени он исходит из того, что эти понятия лишены объективного физического значения, поскольку они никогда не даны в действительном наблюдении. Понятие, не узаконенное конкретным опытом, остается пустым — оно не соотносится ни с одним однозначно определенным физическим «предметом». Например, когда мы говорим об изменении, испытываемом универсумом по отношению к его «абсолютному движению», то любая предпосылка подобного изменения не имеет физического смысла до тех пор, пока у нас нет средств для констатации его бытия или небытия. Границы наблюдения поэтому являются в то же самое время границами того, что мы можем назвать физической реальностью. На возражение, утверждающее, что в мире могут происходить процессы, не фиксируемые средствами нашего эмпирического исследования, Лейбниц отвечает методическим заострением своего первоначального тезиса. Элементы, из которых строится для нас природная действительность, реальность физического мира предметов, не нуждается в том, чтобы улавливаться путем непосредственного восприятия, но все же она должна хотя бы опосредованно удостоверяться какими-то данными опыта. Решающую роль здесь играет не актуальное, а потенциальное наблюдение — не observation, но observabilite¹⁰⁹. В том же самом смысле можно было бы сказать, что значимость математического предмета зависит не от действительной, но от возможной конструкции, от «конструируемости». Актуальная конструкция и не потребуется, если на основании всеобщего закона и априорной структуры определенной области мышление удостоверяется в возможности конструирования. Это фундаментальное различие ясно обозначается на языке теории множеств — достаточно вспомнить о всех тех значениях, которые принимало понятие «определимого множества» по ходу развития этой теории. На начальном этапе развития данное понятие понималось столь широко, что множество казалось вполне определенным, если о любом объекте мышления мы достоверно устанавливали, входит он в элементы множества или нет. Парадоксы теории множеств заставили отказаться от такого неограниченного применения понятия множества: требование элементарной определимости было заменено требованием определимости по объему. Не всякое определимое приданным ему свойством или законом содержание конституирует как таковой значимый математический предмет; мы должны требовать от этого содержания еще и идеальной закрытости, чтобы за исключением замкнутого круга вещей, ограничиваемых неким принципом конструкции, в множество не вошли какие-нибудь другие элементы. Следующий шаг был сделан Брауэром, допускавшим определяемые решением целостности, для которых вопрос о вхождении в них элементов с предзаданным свойством решался одним лишь чисто конечным процессом решения¹¹⁰. Искомое понятие «конструируемости» отвечает тогда требованию «определимости по объему», но не обязательно требованию «определимости по решению»: последнее предполагает актуально осуществленную и доведенную до конца конструкцию,

296

тогда как первое удовлетворяется идеальной возможностью конструкции. Вейль так уточняет отличие своего подхода от взглядов Брауэра: «Примем, что А... есть осмысленный атрибут в области натуральных чисел, и если η является одним из таких чисел, то можно установить, принадлежит А к η или нет. По Брауэру вопрос: "Имеется ли число со свойством Л?" ставится так же, как вопрос о последовательности чисел; хотя понятие натурального числа, в противоположность понятию последовательности ... является определимым по объему... Брауэр обосновывает свой взгляд тем, что у нас нет оснований считать, что по любому подобному экзистенциальному вопросу можно вынести решение... Я сознательно противопоставляю этому взгляду свою собственную попытку обоснования анализа, для которой важно не то, что с помощью неких подсобных средств, вроде выводов формальной логики, мы можем решить вопрос, но сама суть дела: является или нет ряд натуральных чисел и соответствующее ему экзистенциальное понятие фундаментом математики, так что мы всегда можем установить осмысленный атрибут А в области чисел, независимо от существования или несуществования чисел типа А ?»¹¹¹

Возможность и правомерность таких «в себе» значимых высказываний мы не можем отрицать, не растворяя в то же самое время объективную «идею» числа в субъективных актах счета, не сводя сам принцип идеализма к психологизму. Верно, что сам Вейль, кажется, слишком далеко заходит в недооценке общего и «абстрактного», когда общие по форме высказывания, вроде «имеется», он считает не суждениями в подлинном смысле слова, но в лучшем случае «абстрактами суждений». Суждение: «2 есть четное число» является для него настоящим суждением, выражающим реальное положение вещей, тогда как суждение: «Имеется четное число» есть лишь полученный от первого суждения абстракт. Его Вейль сравнивает с листком бумаги, на котором говорится о существовании сокровищ, но не указывается, где именно они находятся. Такой листок не обладает подлинной познавательной ценностью, поскольку таковой — сходной с товарами первой необходимости — обладает только непосредственное и сингулярное, тогда как общее лишь опосредованно в нем соучаствует¹¹². Но если развить используемый Вейлём образ, то разве к «реальным» экономическим ценностям относятся только непосредственно уловленные в данный момент и прямо потребляемые блага? Не следует ли нам проводить различие между реально данным и тем, что реализуемо при определенных условиях? Теория познания не должна оспаривать кредитоспособность «всеобщего», но она должна ставить вопрос о его правильном обосновании. Наверное, «общее» в смысле Вейля не является звонкой монетой, но всегда есть нечто репрезентирующее и замещающее, что может рассматриваться как порядок оплаты. Это не уменьшает его ценности, поскольку им гарантируется то, что мы получим деньги по счету. В любом случае, математика не может обойтись без таких чисто репрезентативных ценностей, подобно тому, как она не может ограничиться единичными высказываниями, будучи системой чисто функциональных определений. Для утверждения значимости ее всеобщих высказываний она не нуждается в том, чтобы наполнять ее сингулярным содержанием, но требует только потенциальной их заполнимости. Поистине универсальные фундаментальные суждения математики характеризуются имен-

297

но такой заполнимостью: они являются конкретно-всеобщими в том смысле, что позволяют одновременно улавливать и всеобъемлющее правило, и бесконечное многообразие случаев его применения. Сингулярное, отдельный случай применения, не обосновывает правило, но его документирует — им это правило представляется, но значение последнего им не исчерпывается.

Поэтому относящиеся к экзистенциальным положениям вещей всеобщие суждения не являются, вопреки Вейлю, «пустыми изобретениями логиков». Он сам признает и даже подчеркивает, что общие «абстракты суждений» хранят в себе бесконечную полноту действительных суждений, «формулируя правомочность проистекающих из них сингулярных суждений», а такого рода правомочность все же не происходит из ничто, не должна обладать «объективным» фундаментом. Иной раз современный математический интуиционизм подвергается той опасности, которая уже не раз заявляла о себе в философском споре об универсалиях. Его обоснованная критика псевдовсеобщего— всеобщего «абстрактных понятий»— задевает и подлинно всеобщее конструктивного принципа. Но они четко различаются как раз при строгом обосновании математики как «точной науки». Такое обоснование никогда не удается при ослаблении значения всеобщего и растворении его в сингулярном; требовать нужно только того, чтобы значения не просто «абстрагировались», не становились обособленным бытием, но находились в постоянном соприкосновении с особенным и мыслились в целостном с ним взаимоотношении. Эта форма «конкретно-всеобщего» игнорируется и там, где она видится чем-то вторичным и выводным, а потому сводимым к действительности «вещей». Попытка такой редукции характерна не только для эмпиристского выведения понятия числа, но и для определенного направления в рамках чистого «логицизма». Эмпиризм и логицизм имеют одну общую «реалистическую» предпосылку: оба они полагают, что чистая значимость числа удостоверяется лишь посредством обоснования ее предзаданным слоем реально существующего. Эмпиризм здесь возвращается к существованию конкретных чувственных множеств: он стремится так истолковать чистые высказывания о числах, что они становятся не чем иным, как высказываниями о непосредственных данностях восприятия или созерцания. Если до конца продумать этот взгляд, то арифметика делается частью физики. Милль был лишь вполне последователен, когда из того, что истины арифметики зависят от опытного материала и среды, выводил то, что суждение «1 + 1 = 2», возможно, не обладает необходимой значимостью, скажем, для обитателей Сириуса, живущих в других эмпирических условиях.

Сегодня, после решительной критики Фреге, такого рода «обоснования» арифметики были в целом оставлены. Но структура чистой теории числа, выдвинутой Фреге и последовавшими за ним логиками, ничуть не меньше удаляет нас (пусть в ином направлении) от идеала поистине «автономной» арифметики. Последней и подлинной истиной числа здесь оказывается не оно само, а нечто другое — высказывания о числах получают объективный смысл и объективную значимость лишь за счет того, что их признают высказываниями о классах. Существование подобных классов, принимаемых уже не как чувственные, но как чисто понятий-

298

ные многообразия, представляет собой фундамент для всех пропозиций чистой теории чисел. Подобно Миллю, отталкивающемуся от слоя эмпирических вещей, Фреге исходит из неких понятийных вещей, выступающих как неизбежный субстрат царства чисел. Без такого субстрата, по Фреге, число утратит свое место в порядке бытия и целиком повиснет в воздухе¹¹³. Но чисто функциональный смысл числа равным образом упускается и при выведении его из эмпирического «существования» вещей, и при выведении из логической «сущности» понятий. В обоих случаях число уже не выступает как изначальная форма полагания, но требует чего-то пред-данного и пред-установленного. Для Рассела также характерен этот реализм, выводящий понятие числа из понятия класса. Первично для него не понятие числа, но понятие эквивалентности, определяемое не иначе как свойство каких-то классов, а именно, как свойство их однозначно взаимосоотнесенных элементов. Например, понятие «два» выражает не что иное, как определение, которое непосредственно пред найдено в каких-то группах вещей (вещей, обычно обозначаемых как «пары») и от него абстрагировано, тогда как число «двенадцать» обозначает общее свойство всех «дюжин». Значение «двенадцати» зависит от бытия «дюжин»: числа как таковые могут мыслиться только как «классы классов», связанные друг с другом отношением эквивалентности. Здесь отношение также следует за бытием (будь оно даже чисто логическим), вместо того чтобы выводить порядок и расчлененность бытия из наличия отношения"⁴.

Заслугой «интуиционизма» является то, что против всех этих попыток он восстанавливает примат отношения и идет к полному его признанию. Им отвергается любая попытка обосновать чистую теорию числа, полагая ее частным случаем общей теории множеств и логически «дедуцируя» ряд натуральных чисел из понятий классов и множеств. На место такой дедукции становится «полная индукция». Это наименование может вызвать недоразумения: математика теперь подпирается не логикой, но эмпирической наукой, у которой перенимается основной метод. Однако упоминаемая здесь «индукция» строго отличается от метода «эмпирического обобщения», как обычно понимается этот термин. В ней сохраняется исторически предшествующее значение слова επαγωγή — «подведение». Но никакого «подведения» не было бы, а было бы блуждание в темноте, не обладай оно общим мерилом. Истинная математическая индукция не ищет пути к общему, но на него указывает; более того, она сама есть этот путь. Подлинным ее путеводителем является не «индуктивное умозаключение», двигающееся от данного многообразия к гипотетическому предположению и утверждению относительно всех случаев, но так называемый «вывод от n κ n + 1». В таком выводе нет сбора определений, найденных по сингулярным случаям и обозначенных единичными числами, с последующим переносом их на столь же сингулярные случаи. Скорее, все они восходят к абсолютному принципу числа: признается, что один член числового ряда соединяется с непосредственно за ним следующим фундаментальным отношением, проходящим через весь ряд и определяющим каждую его часть. Вот почему принцип «полной индукции», как неоднократно подчеркивал Пуанкаре, опирается на истинный «априорный синтез»¹¹⁵.

299

Для Вейля этот принцип также не нуждается в дальнейшем обосновании, поскольку он представляет собой не что иное, как первичную математическую интуицию — интуицию «еще одного»¹¹⁶. Все так называемые «рекуррентные доказательства»¹¹⁷ математики не имеют другой цели, кроме возвращения определенной математической проблемы к ее последним познавательным истокам — вплоть до пункта, где возможно ее решение. Не отношения вещей, но лишь чистые отношения полагания — отношения, восходящие к функциям полагания единого и многого, последовательности и соответствия, — могут обосновывать априорность математических суждений и специфически им присущую «очевидность». Пытаясь вывести понятие числа из понятия множества, логистика всякий раз возражала на обвинения ее в petitio principii; она указывала, что тот смысл, в котором логика говорит о «тождестве» и «различии», еще не включает в себя нумерически единого и нумерически многого, а потому редукция «нумерического» смысла к чисто логическому означает для нее решающий прогресс познания¹¹⁸. Но как бы там ни было с формальной правомерностью обвинений в petitio principii, трудно возразить на то, что дедукция понятия числа из понятия класса в теоретико-познавательном, в строго «трансцендентальном» смысле включает в себя ύστερον πρότερον. Чтобы наполнить понятие класса определенным содержанием, мы должны всякий раз заранее привносить в него мыслительные функции полагания, тождества и различия, — те самые отношения, что требуются для конституирования понятия числа; эти функции можно прямо вывести из числа, не обращаясь к понятию «класса»¹¹⁹.