Розв’яжіть завдання 21–30. Запишіть відповідь у зошит.

21.   Через кінець А відрізка АВ проведено площину a. Через кінець В і точку С відрізка АВ проведено паралельні прямі, які перетинають площину a відповідно в точках М і N. Знайти довжину відрізка СN, якщо АС : СВ = m : n, BM = a.

22.   Площина a перетинає сторони кута АВС у точках А₁ і С₁, а паралельна їй площина b — у точках А₂ і С₂. Знайти ВС₁, якщо А₁В : А₁A₂ = 1 : 3, ВС₂ = 12 см.

23.   З точки А до площини проведено дві похилі АВ = 30 і АС = 40. Знайти відстань від точки А до площини, якщо проекції похилих відносяться як 9 : 16.

24.   З точки В, яка розміщена від площини на відстані 1 см, проведено дві похилі, які утворюють із площиною кути 45°, а між собою — кут 60°. Знайти відстань між кінцями похилих.

25.   Одинз катетів прямокутного трикутника АВС дорівнює а, а гострий кут, прилеглий до цього катета, дорівнює a. Через вершину прямого кута С проведено відрізок СD, перпендикулярний до площини цього трикутника, CD = b. Визначити відстань від точки D до прямої АВ.

26.   Основи трапеції дорівнюють 18 см і 12 см. Через більшу основу проведено площину на відстані 5 см від меншої основи. Знайти відстань від точки перетину діагоналей трапеції до цієї площини.

27.   З точок А і В, які лежать у двох перпендикулярних площинах, опущено перпендикуляри АА₁ і ВВ₁ на лінію перетину площин. Знайти АВ, якщо АВ₁ = а, ВА₁ = b, A₁B₁ = c.

28.   Рівнобедрені трикутники АВС і АВD зі спільною основою АВ лежать у різних площинах, кут між якими дорівнює a. Знайти кут a, якщо АВ = 6 см, СD = см, АС = АD = 4 см.

29. Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через вершини В₁ і С₁ та середину ребра DD₁, якщо ребро куба дорівнює 2а.

30.   Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайти площу переріза куба площиною, яка проходить через вершини В₁ і D та середину ребра СС₁, якщо ребро куба дорівнює 2а.

Частина 3

Для розв’язання завдань 31–35 обов’язкове обґрунтування. Запишіть послідовні логічні дії та поясніть їх, зробіть посилання на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Якщо потрібно, проілюструйте розв’язання завдання схемами, графіками, таблицями. Запишіть відповідь у зошит.

31.   Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайти площу перерізу куба площиною, яка проходить через центр куба і середини ребер АВ і АD, якщо ребро куба дорівнює 1.

32.   Через центр основи правильної трикутної піраміди паралельно двом ребрам, які не перетинаються, проведено площину. Визначити площу утвореного перерізу, якщо бічне ребро піраміди дорівнює l, а ребро основи — а.

33. У правильній чотирикутній піраміді проведено площину через діагональ основи паралельно бічному ребру. Сторона основи дорівнює а, а бічне ребро дорівнює b. Визначити площу утвореного перерізу.

34.   У правильній чотирикутній піраміді проведено площину через сторону основи перпендикулярно до протилежної бічної грані. Знайти площу утвореного перерізу, якщо сторона основи дорівнює а, а висота піраміди дорівнює h.

Тема 8. Призма

Частина 1