Задача аналитического конструирования оптимальных регуляторов.

Предположим уравнения возмущенного движения системы имеют вид

                        (4.18)

Матрицы , размерности  и , соответственно, имеют в качестве своих элементов известные функции . Предполагается также, что состояние системы (4.18) в каждый момент времени  известно. В качестве критерия оптимальности рассматривается квадратичный функционал Больца

,       (4.19)

где  - симметричные неотрицательно определенные матрицы,  - положительно определенная матрица; *) - индекс транспортирования.

Требуется найти оптимальное (минимизирующее функционал 4.19) управление, являющееся функцией текущего состояния . Для решения этой задачи можно воспользоваться принципом максимума, но наиболее короткий путь – метод динамического программирования.

В соответствии с этим методом нужно найти функцию ,удовлетворяющего уравнению

                                    (4.20)

В общем случае – это сложная задача, однако для линейных систем с квадратичным критерием оптимальности функцию  можно искать в виде некоторой квадратичной формы.  (4.21) где  - есть некоторая, пока неизвестная, квадратичная форма, удовлетворяющая в силу (4.16) конечному условию   (4.22)

Таким образом, для линейных систем задача сводится к отысканию функции . Дифференцируя (4.21) с учетом (4.18) получим

Тогда    (4.23)

Минимизируя (4.23) по  получим  или (4.24)

Так как , то управление (4.24) действительно доставляет минимум выражению .

Подставляя (4.24) в (4.23), получим  (4.25)

Квадратичная форма (4.25) равна нулю при любых  только в том случае, когда равна нулю матрица, ее образующая. Таким образом, получаем уравнение для определения матрицы

(4.26) с граничным условием (4.22).

Интегрируя уравнение (4.26) в обратном направлении, получим , а значит и параметры оптимального управления (4.24). Нетрудно показать, что матрица  - симметричная матрица. Для этого достаточно транспонировать уравнение (4.26). Тогда

откуда с учетом симметричности матриц  следует, что .

Замечание 1. В том случае, когда система (4.18) стационарна (матрицы A и B – числовые матрицы), матрицы  - числовые матрицы,  (рассматривается установившийся режим). Матрица  тоже числовая и удовлетворяет алгебраическому уравнению

Замечание 2. Из выражения (4.24) следует, что для реализации оптимального управления необходима полная и точная информация о состоянии управляемого процесса . В том случае, когда эту информацию получить невозможно, для реализации оптимального управления используются оценки состояния, получаемые на основе имеющейся неполной информации.