Задача оптимальной фильтрации и ее решение методом Калмана

Для оптимального управления по принципу обратной связи необходимо иметь полную информацию о состоянии системы. Однако измерению доступны лишь некоторые функции состояния или их комбинации. Кроме того, наблюдаемый сигнал содержит погрешности измерений. Задача получения наилучшей оценки состояния системы по результатам измерений – задача оптимальной фильтрации. Предположим, что динамический процесс описывается совокупностью дифференциальных уравнений , (5.61) где  - -мерный вектор состояния,  - -мерный вектор возмущающих воздействий,  и  матрицы соответствующих размерностей. Пусть измерению поддается -мерный вектор некоторых комбинаций функций состояния (5.25) ,(5.62) где  - погрешность измерения.

Относительно свойств случайных процессов  и начального состояния  будет предполагать, что это случайные процессы типа белого шума, не корренированные друг с другом и начальным состоянием системы. Математически задача оптимальной фильтрации ставится как задача отыскания оценки  состояния системы (5.61)  на основе имеющейся информации

Калман предложил искатьуравнение фильтра в виде линейной системы на вход которой подается наблюдаемый сигнал . Тогда уравнения движения такой системы можно описать совокупностью уравнений  (5.63) где матрицы  и  подлежат определению, т.е. структура фильтра задается, а параметры структуры и начальное состояние определяются из дополнительных условий.

Так как , то всегда будет ошибка оценки .

Тогда для определения искомых матриц  и  можно использовать условие несмещенности оценки  (5.64) и условие ее оптимальности , (5.65) где  - симметричная положительно определенная матрица. Для того, чтобы использовать условия (5.64) и (5.65) найдем уравнение для оценки оценивания. Вычитая (5.63) из (5.61) с учетом (5.62), получим

или

.

Если теперь положить, что , (5.66) то уравнение для ошибки оценки  примет вид: (5.67) с начальным условием .(5.68) Из (5.67), (5.68) следует, что условие несмещенности оценки (5.64) будет выполнено, если положить .(5.69)

Чтобы убедиться в этом, достаточно взять математическое ожидание от выражений (5.67), (5.68)

. т.е. получили однородное линейное уравнение с нулевыми начальными условиями, откуда непосредственно следует, что  для любого .

Остается определить матрицу из условия минимума критерия (5.65). Примем для простоты выкладок, что - постоянная единичная матрица, тогда

.                (5.70)

Здесь  - корреляционная матрица ошибки оценивания (матрица вторых центральных моментов ошибок оценки компонент вектора состояния системы). Обозначим ее через , тогда критерий оптимальности есть сумма диагональных элементов этой матрицы. В соответствие с условием локальной оптимальности будем искать оптимальное значение матрицы из условия минимума производной критерия по времени: .                                          (5.71)

Нетрудно показать, что минимизация производной критерия обеспечивает минимум и для самого критерия [6] Запишем выражение , опуская для простоты время :

.                            (5.72)

Подставив в (5.72) выражение для  из (5.67) и соответствующее выражение для , получим:     (5.73)

Найдем , для чего запишем уравнение Коши для (5.67): , где  - весовая матричная функция.

Тогда .

Используем свойство дельта-функции: , если  имеет разрыв в точке . Поскольку то .  (5.74)

Аналогично можно найти : . (5.75)

Подставив полученные выражения для  и соответственно транспонированные выражения для  в (5.73) получим:

                (5.76)

Следующее тождество легко проверить, раскрыв в правой части скобки и использовав симметрию матрицы :

. (5.77)

С учетом тождества приведем уравнение (5.76) к виду:

(5.78)

В правой части (5.78) от коэффициента будет зависеть лишь последнее слагаемое, причем оно представляет собой положительно определенную матрицу. Очевидно, что для минимизации критерия (5.71) нужно выбрать в следующем виде:        (5.79)

При этом последний член в уравнении (5.78) обращается в нульи уравнение приобретает вид (5.80)

с начальным значением .

Итак, можем записать уравнение фильтра

.        (5.81)

Уравнения (5.79), (5.80), (5.81) представляют собой уравнения фильтра Калмана-Бьюси.

Система оценивания (фильтр) схематически представлена на рис. 16.

Следует отметить, что уравнение фильтра и его параметры не зависят от матрицы , однако последняя должна быть положительно определенной.

Для стационарной системы  при стационарном возмущающем воздействии и стационарном шуме измерителя  после окончания переходных процессов матричный коэффициент усиления в фильтре Калмана становится постоянным , а уравнение Риккати (5.80) вырождается в алгебраическое. При этом процесс и, следовательно, процесс являются стационарны, так что .

Запишем уравнения стационарного фильтра Калмана в следующем виде:

;              (5.82)

;                                                      (5.83)

.                    (5.84)

Один из часто используемых способов решения уравнения (5.84) (обычно с помощью ЦВМ) заключается в решении нестационарного уравнения (5.80) с соответствующими постоянными значениями коэффициентов, из которых составлены матрицыА, С, Q, R, и произвольной неотрицательно определенной матрицей начальных условий для  в текущем времени до тех пор, пока полученное решение не достигнет постоянного установившегося значения. Это окончательное значение принимается за искомое решение уравнения (5.84). Такой способ решения удобен тем, что алгоритмы решения дифференциальных уравнений, как правило, эффективнее алгоритмов решения нелинейных алгебраических уравнений.

Замечание 1. Важным свойством полученной ошибки является то, что она некоррелирована с ошибкой оценивания, [7] т.е. .

Замечание 2. Пусть теперь уравнение измерения имеет вид (5.62), а погрешность измерения отсутствует. В этом случае для получения оценки  необходимо воспользоваться производной  наблюдаемого сигнала ,

которая может быть представлена в виде (5.62) . где . Далее процедура вывода уравнений фильтра совпадает с выше изложенной.

Замечание 3. Для управляемых систем, описываемых совокупностью уравнений . Уравнение фильтра может быть получено аналогично. В этом случае уравнение фильтра будет иметь вид , (5.85) где матрица , а корреляционная матрица , как и раньше, находится из матричного уравнения (5.86)

с начальным условием .