Принцип максимума Понтрягина (принцип максимального быстродействия)

В системе  требуется найти управление, переводящее систему из одного (заданного) состояния  в другое (конечное) состояние за минимальное время , т.е. в данном случае . Для определенности положим .

В соответствии с принципом максимума функционал качества необходимо представить в форме Майера: .

Для этого введем переменную  с помощью уравнения

Тогда .

Введем функцию , где множители Лагранжа удовлетворяют уравнению  с неизвестными начальными и конечными значениями. Из структуры  видно, что .

Тогда дальнейшее исследование функции  сводится к исследованию .

Дальнейшее решение проведем для системы, описывающейся уравнением

. (3.12) или   (3.13)

Требуется перевести систему (3.13) из состояния

 в начало координат  за минимальное время.

В данном случае , где .

Решая систему уравнений, найдем

. Будем считать, что .

Из условия максимума функции  следует, что

.

Учитывая, что  - линейная функция, меняющая знак не более одного раза, оптимальное управление может быть:  или с одним переключением.

Предположим, что , тогда

- константы интегрирования.

На фазовой плоскости получим уравнение . Различным значениям  будут соответствовать различные фазовые траектории (параболы).

И только при  фазовая траектория проходит через начало координат. Поэтому с управлением  можно попасть в начало координат только, стартуя с фазовой траектории 0А.

Пусть теперь .

В этом случае

 и .

Видно, что с управлением  можно попасть в начало координаты только стартуя с точек фазовой траектории B0.

Таким образом, фазовая плоскость делится линией A0B на 2 части (области D и C).

Есть старт с точек области D, то сначала , затем .

Если же – cточек области C, то

.

Линия A0B – линия переключения.

Так реализуется оптимальное управление в задаче быстродействия.