Принцип максимума Понтрягина (случай функционала Майера и свободного правого конца).

Принцип максимума позволяет получить замкнутую систему уравнений для определения оптимального управления и соответствующего ему решения.

Рассмотрим исходную постановку задачи оптимального управления, заключающуюся в поиске такой управляющей функции  и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе  (1.1), на которых некоторый функционал  достигает минимального значения. Функции  в системе (1.1) предполагаются непрерывными по  и дважды непрерывно дифференцируемыми по остальным аргументам.

Оптимальное управление отыскивается в классе кусочно-непрерывных функций с конечным числом точек разрыва, со значением из некоторой замкнутой или открытой выпуклой области  – мерного пространства. При этом фазовые координаты  в точках разрыва управления остаются непрерывными. В качестве критерия оптимальности рассматривается функционал Майера , (3.1) где  – заданное конечное время управления. В рассматриваемом случае начальное состояние  считается заданным, а  - свободным, т.е. рассматривается задача со свободным правым концом.

Если в вариационном исчислении минимум отыскивается среди близких кривых сравнения ( - малые по мере  или ), то в принципе максимума вариации управления  могут быть конечными, но из заданной области.

Вводится понятие игольчатой вариации

здесь не малые, но влияние  на управляемое движение малое, т.е. , обусловленное воздействием  мало в силу малости времени его воздействия . Малым будет и приращение  функционала. Использование игольчатых вариаций позволяет получить более сильные условия - необходимые условия абсолютного минимума (максимума).