Принцип оптимальности Беллмана.

Рассмотрим систему     (4.1)

и функционал    (4.2) который требуется минимизировать. Правый конец фазовых координат является свободным. Наряду с этой вариационной задачей рассмотрим вспомогательную, когда процесс рассматривается в интервале  и минимизируется функционал . (4.3)

Применим принцип оптимальности к решению вариационной задачи (4.1), (4.2). Для этого сначала рассмотрим функционал  (4.3). Наименьшее значение его при связях (4.1) обозначим: . (4.8)

Если - оптимальное управление, то . Оптимальное управление  зависит от начального состояния y(t) в момент (t). Следовательно, v является функцией от y и t: v = v(y, t), а от управления u и его вариаций функция v = v(y, t) не зависит. Она вполне определяется значениями y, t .

Интервал (t, T) разделим на два интервала (t, t+ dt) и (t + dt,T) и выражение (4.8) запишем в виде: . Согласно принципу оптимальности последний участок также является оптимальным:   (4.9)

Обозначим: ,                                         (4.10)

где  - приращение вектора фазовых координат за время . Оно определяется согласно уравнениям движения (4.1). Подставляя  из (4.10) в равенство (4.9), получим: .

Хотя функция  зависит только от фазовых координат и времени, ее нельзя выносить за знак . Значение приращения  за время  зависит от управления в интервале . Но  не зависит от управления в интервале , и ее можно внести под знак . Введем  под знак минимума и разделим на :

.

Учитывая, что ; ,

получим основное уравнение метода динамического программирования:

.                                (4.11)

Это соотношение состоит из двух утверждений:

1. выражение  достигает минимума. Это утверждение служит для определения оптимального управления ;

2. выражение  при оптимальном управлении  равняется нулю. Утверждение служит для определения функции .

Если  - управление, минимизирующее выражение , то основное уравнение метода динамического программирования                                                                                                                 (4.12)

Здесь  зависит от управления по определению, функция же  не зависит от него. Тем не менее, производная  от управления зависит. В этом можно убедиться, если ее представить в виде  и  заменить согласно системе (4.1): .  (4.13)

Подставляя (4.13) в (4.12) получим уравнение Р.Беллмана: . (4.14)

Это уравнение в частных производных относительно , которое после подстановки  становится нелинейным. Согласно определению v (4.8) при  должно выполняться конечное условие .

В случае бесконечного интервала при процесс должен быть асимптотически устойчивым, т.е. . В том случае, когда рассматривается функционал Больца (4.15)

Уравнение (4.12) сохраняет силу, функция v в момент  должна удовлетворять условию . (4.16)