Принцип максимума Понтрягина (случай функционала Лагранжа и свободного правого конца).

Вводится функция , (3.2) где  - правые части уравнений движения (1.1),  - множители Лагранжа, удовлетворяющие уравнениям

 (3.3) с граничными условиями (3.4)

Исходная система может быть представлена в виде

(3.5) ,(3.6),  - заданные величины.

В соответствие с (3.1) – (3.5) функция  при фиксированных  является функцией управления  и ее можно исследовать на минимум или максимум.

Будем говорить, что  удовлетворяет условию максимума функции  если при фиксированных  для любого времени  выполняется условие

        (3.7)

Тогда справедливо следующее утверждение.

Если управление  доставляет минимум (максимум) функционалу (3.1), то оно удовлетворяет условию максимума (минимума) (3.7), где  определяются из системы уравнений (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) при управлении , найденном из условия максимума (3.7).

Из формулировки принципа максимума следует, что принцип максимума является необходимым условием абсолютного минимума. Принцип максимума позволяет получить замкнутую систему уравнений (3.2) – (3.7) для определения оптимального управления и соответствующего ему решения.

Следует отметить, что в соответствие с принципом максимума задача минимизации функционала сводится к задаче максимизации функции и решению краевой задачи.

Замечание 1. В том случае, когда время  не фиксировано, полученная система соотношений принципа максимума должна быть дополнена условием трансверсальности, которое имеет вид , которое используется для определения оптимального времени процесса .

Замечание 2. В общем случае принцип максимума дает необходимые условия абсолютного минимума (максимума), можно доказать, что в случае линейных систем с линейным или квадратичным функционалом принцип максимума дает и достаточные условия оптимальности.

Замечание 3. В том случае, когда конечные значения  заданы (правый конец несвободен) допустимыми являются не все возможные функции , а только те из них, которые приводят траекторию в заданное состояние. Поэтому из доказательства принципа максимума со свободным правым концом не следует его справедливость для систем с фиксированными концами.