Условный экстремум, виды связей, методы решения

При решении прикладных задач при принятии того или иного решения, в том числе оптимального, всегда приходится учитывать совокупность ограничений по энергопотреблению, быстродействию, точности, (текущей или конечной), надежности и т.п. Эти ограничения всегда будут накладывать ограничения на выбор допустимых вариаций. Поиск экстремума функционала при наличии дополнительных ограничений (связей), называется задачей на условный экстремум.

Обычно различают связи трех типов:

а) голономные связи – связи, не содержащие производных искомых функций ;

б) неголономные связи – связи, содержащие производные искомых функций ;

в) изопериметрические (интегральные связи) .

Вариационные задачи на условный экстремум при голономных и неголономных связях можно (теоретически) решить методом исключения зависимых переменных. Тогда задача на условный экстремум сводится к задаче на безусловный. Однако такой подход практически неприменим ввиду сложности процедур исключения зависимых переменных. Поэтому наибольшее распространение получил метод множителей Лагранжа. Рассмотрим применение этого метода в задаче минимизации функционала

при наличии связей ,    (1.29)

граничные условия будем считать заданными.

В соответствие с методом Лагранжа вводится вспомогательный функционал

, где  - неопределенные пока множители Лагранжа. На связях  и и функционалы  и  ведут себя одинаково, т.е. экстремум  достигается одновременно с  при условии, что  удовлетворяют уравнениям связей (1.29), независимо от .При заданных граничных условиях, как и ранее, получим .

Однако в этом случае нельзя воспользоваться основной леммой вариационного исчисления, так как  - не является независимыми. Воспользуемся свободой выбора множителей Лагранжа и выберем  таким образом, чтобы выполнялись уравнений

, тогда .

В последнем выражении  уже независимы и, воспользовавшись основной леммой вариационного исчисления, получим:

.

Таким образом, для определения n+m функций  и  мы получили систему m и n уравнений

                   (1.31)

Уравнения (1.31) называются уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Если граничные условия не заданы, система уравнений (1.31) дополняется условиями трансверсальности типа (1.25), в которых вместо F необходимо подставить H.

В случае неголономных связей вариационные задачи решаются аналогично.