Решение задачи при изопериметрических условиях.

Рассмотрим задачу нахождения экстремума функционала при наличии изопериметрических связей

(1.32) где  - заданные постоянные величины.

Такие связи не накладывают ограничений на вариации функций  в текущий момент времени, они являются интегральными, поэтому число связей может быть и больше, чем число функций, т.е. m><n.

Вариационная задача с ограничениями (1.32) может быть сведена к задаче с неголономными связями, если ввести новые переменные . (1.33)

Из (1.33) следует, что вектор-функция  удовлетворяет системе уравнений

.        (1.34)

Введем функции и

.

Тогда  и задача минимизации функционала  сводится к задаче минимизации функционала (1.35)

Уравнения Эйлера-Лагранжа будут иметь вид:

                                               (1.36)

Так как  не зависит от , то  и . Значит .

Таким образом, множители Лагранжа в вариационной задаче с изопериметрическими условиями являются постоянными величинами, для определения которых имеется система (1.32). При этом система уравнений Эйлера-Лагранжа (1.36) может быть записана в виде

.                            (1.37)

Система управлений (1.37) должна решаться совместно с условиями (1.32) и граничными условиями, вытекающими из условия трансверсальности.

Необходимые и достаточные условия относительного минимума

Рассмотрим некоторый функционал , где , и приращение его представим в виде

,

где  - вторая вариация функционала,  - величина более высокого порядка малости, чем , т.е. при  и  при . Безусловно, предполагается способ приближения  к нулю заданным.

На экстремали , тогда .

Рассмотрим такую достаточно малую окрестность экстремали, что

.

Тогда знаки приращения  и второй вариации  совпадают.

Если , то , и если , то . Таким образом, если  - величина более высокого порядка малости, чем , то для достижения относительно минимума необходимо и достаточно, чтобы

.                                     (1.40)

Условие Лежандра

Рассмотрим задачу нахождения экстремума простейшего функционала

                                 (1.41)

с закрепленными концами. Докажем, что для достижения относительного минимума необходимо , (1.42) а для максимума – условие .(1.43)

Неравенства (1.42) и (1.43) называются условиями Лежандра. Используя формулу Тейлора, найдем

.

Предполагается, что отброшенные нелинейные члены более высокого порядка малости, чем . Тогда знак  определяется знаком .

Используя равенства ;

,

для второй вариации  получим выражение

.

Введем обозначения

Тогда  представим в виде .

Убедимся, что для достижения минимума , если он существует, необходимо . Для этого покажем, что если , то всегда можно найти такую функцию  с кусочно-непрерывной производной, что , т.е. всегда можно построить такую кривую сравнения, что знак  определится знаком непрерывной функции .

Пусть , т.е. достигается минимум функционала, и допустим, что в некоторой точке  выполняется неравенство . Тогда  в силу непрерывности Q по t в некоторой окрестности  этой точки . Зададимся (рис. 9): ; .

Тогда

при , и, следовательно, будем иметь: .

Но , поэтому при достаточно малом, но положительном  получим:

.

Это противоречит  и . Следовательно, для достижения относительного и слабого экстремума необходимо, чтобы . Аналогично

доказывается необходимость  для достижения максимума. Эти необходимые условия максимума и минимума более сильны, чем уравнения Эйлера, которые не могут различать максимума от минимума. Условия Лежандра используются совместно с уравнениями Эйлера, и при помощи их различают максимум и минимум.