Уравнение Эйлера (для заданного функционала)

,                                    (1.18)

называется уравнением Эйлера.

Уравнению Эйлера удовлетворяют кривые, доставляющие как относительный минимум, так и относительный максимум функционалу , поэтому для идентификации экстремума необходимы дополнительные исследования.

Учитывая, что , уравнение Эйлера можно представить в виде

.

То есть уравнение Эйлера – это дифференциальное уравнение второго порядка относительно , его общее решение содержит две произвольные постоянные  и , для нахождения которых используются условия прохождения искомой экстремали через заданные точки  и . Таким образом, решение задачи построения экстремали сводится к краевой задаче (или двухточечной), которая существенно отличается от задачи Коши, где решение удовлетворяет только начальным условиям. Двухточечная задача может и не иметь решения, когда задача Коши решение имеет.

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения Эйлера.

1. Функция  не содержит , т.е. . При этом , и уравнение Эйлера запишется в виде

.

Откуда следует , где  - произвольная постоянная. Разрешая это уравнение относительно , получим:

.

Интегрируя его, найдем ,  - произвольная постоянная. Таким образом, в этом случае уравнение Эйлера интегрируется полностью.

1. В функцию  не входят  и . Тогда , и уравнение Эйлера преобразуется к виду , или . В этом случае . Экстремали представляют прямые линии.

Условие трансверсальности ( для конкретного случая).

                         (1.23)

Полученное условие может быть использовано для определения оптимальных значений координат граничных точек. Оно называется условием трансверсальности и используется совместно с уравнением Эйлера (см. вопрос. 5) . Рассмотрим некоторые частные условия трансверсальности.

1. Точки A и Bзаданы. В этом случае , условие (1.23) выполняется тождественно и дополнительной информации не дает.

2. Координаты  и , заданы, а  и  произвольны. В этом случае  и из условия трансверсальности получаем дополнительно два условия для определения  и

3. Точка A задана, а координаты точки B связаны зависимостью . В этом случае , а вариации  и  связаны зависимостью ,

и из условия трансверсальности получим недостающее условие .

В том случае, когда y(t) – n – мерный вектор достаточно гладких функций, искомая экстремаль удовлетворяет системе уравнений Эйлера        (1.24)

а условие трансверсальности имеет вид: (1.25)

Из условия трансверсальности можно получить систему соотношений для определения граничных значений  параметров . В общем случае эти параметры могут быть связаны условиями

,            (1.26)

тогда соответствующая система уравнений в вариациях будет иметь вид:

(1.27)

Используя полученную систему линейных алгебраических уравнений (1.27), можно выразить  зависимых переменных через  независимых переменных и из условия трансверсальности (1.25) получить  уравнений, которые совместно с (1.26) дают замкнутую систему уравнений для определения  переменных (координат граничных точек).