Необходимое условие относительного экстремума

Обозначим через  искомую экстремаль. Тогда любую другую функцию из рассматриваемого класса можно представить в виде , где  - вариация функции. При этом, если  является малой в смысле некоторой меры, то говорят о близких кривых сравнения.

Понятно, что

,

тогда условия

                                       (1.9)

будут необходимыми и достаточными условиями минимума и максимума, соответственно.

Однако, эти условия не конструктивны. Для получения более эффективных условий вводится понятие первой вариации функционала. Для этого представим приращение функционала  в виде

,                  (1.10)

где  - линейная относительно  часть приращения,  содержит величины более высокого порядка малости, чем , т.е. при .

Тогда при достаточно малых  знак приращения  будет определяться знаком первой вариации .

Из выражения (1.10) следует, что необходимым условием минимума или максимума (экстремума) функционала является условие

                                                (1.11)

Для доказательства предположим, что кривая доставляет минимум (максимум) функционалу . Это означает, что при любых . Если теперь предположить, что условие (1.11) неверно, то в силу линейности от первая вариация , а значит и  будут менять знак при смене знака , что противоречит условию  и доказывает справедливость условия (1.11).

Условие (1.11) еще называют условием стационарности. Поскольку оно является необходимым условием экстремума, ему должны удовлетворять все кривые, доставляющие и минимум, и максимум функционалу , т.е. это условие позволяет выделить все множество функций, среди которых находится и искомое, если оно существует. Используя условие (1.11), можно получить уравнения, которым с необходимостью должны удовлетворять искомые экстремали.

Основная лемма вариационного исчисления

Лемма. Пусть  - заданная непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению

,                                           (1.12)

где  - любая непрерывная функция, то .

Доказательство. Предположим, что условие  не выполняется и существует некоторая точка , в которой . Для определенности положим, что . Тогда в силу непрерывности функции  существует в окрестности точки  некоторый интервал , где .

Поскольку  - любая непрерывная функция, выберем ее следующим образом

В этом случае

,

что противоречит условию (1.12) и доказывает лемму.