Понятие меры близости функций, абсолютного и относительного минимума.

Понятие функционала. Виды функционалов.

Предположим, что управляемый процесс описывается совокупностью дифференциальных уравнений     (1.1) с начальными условиями .

Задача оптимального управления заключается в отыскании таких управляющих воздействий, при которых управляемый процесс будет наилучшим в некотором смысле. При этом для оценки качества управляемого движения вводится функционал .

Понятие функционала

Известно, что если каждому значению переменной  соответствует определенное значение переменной , то говорят, что задана функция . Если каждой функции  можно поставить в соответствие некоторое числовое значение переменной , то говорят, что задан функционал  на множестве реализаций функции . Таким образом, областью определения функционала является множество функций.

Примерами функционала может быть длина  кривой , соединяющей две точки  и  на плоскости , или площадь , ограниченная кривой .ф

В качестве функционала может быть расход топлива, необходимый для перелета самолета из пункта  в пункт . Величина этого расхода будет зависеть от выбранной траектории полета.

В качестве функционала может рассматриваться значение функции в некоторой точке , т.е. .

В качестве такой точки  может быть конечная точка , т.е.  или некоторая функция  конечного состояния, т.е. .

Различают следующие виды функционалов.

1) Функционал Лагранжа

где  - некоторая достаточно-гладкая функция своих аргументов, свойства которой оговариваются в конкретном случае.

2) Функционал Майера

3) Функционал Больца

4) Локальный функционал. Рассмотренные функционалы характеризуют качество управляемого процесса на конечном (или бесконечном) интервале времени. Однако часто бывает необходимо, чтобы поведение системы было оптимальным в некотором смысле в любой текущий момент времени. К таким требованиям относится, например, требование максимальной текущей точности функционирования системы. В этом случае критерием оптимальности служит некоторый функционал (функция) , параметрически зависящий от времени , определенный на множестве функций  и . Общий вид такого функционала можно представить в следующем виде       

Управление , минимизирующее  в текущий момент времени, называется локально-оптимальным.

Теперь задача оптимального управления может быть сформулирована как задача поиска такой управляющей функции  и соответствующей траектории , удовлетворяющей системе (1.1), (1.2), на которых некоторый функционал  достигает минимального или максимального значения.

При этом каждый раз оговаривается класс функций, среди которых отыскивается минимум или максимум (класс функций сравнения).

Это может быть класс непрерывных, кусочно-непрерывных или непрерывно-дифференцируемых определенное число раз функций. Свойства любого функционала существенно зависят от того, на каком классе функций он задан.

В том случае, когда функция  - не зависит от времени (постоянна), функционал становится функцией этого параметра и задача оптимизации сводится к задаче минимизации (максимизации) функции.

Понятие меры близости функций, абсолютного и относительного минимума.

Для определенности будем предполагать, что функционал  задан в форме Лагранжа, а подынтегральная функция содержит, кроме функций , и их производные, т.е.

.

Функция  доставляет минимум функционалу , если для любой другой функции  выполняется неравенство 

.

Если выполняются неравенство противоположного знака,  доставляет максимум функционалу . Функция , доставляющая минимум или максимум (экстремум) функционалу , называется экстремалью.

Следует отметить, что минимум или максимум функционала может отыскивается среди всех кривых сравнения из некоторой области или среди, так называемых, близких кривых сравнения.

Если минимум (максимум) достигается среди близких кривых сравнения, он называется относительным. Если же он отыскивается среди всех кривых сравнения, то – абсолютным. При этом мера близости для разных классов функций сравнения задается по-разному.

Мерой близости двух непрерывных или кусочно-непрерывных кривых  и  на отрезке может быть величина

Такая мера называется расстоянием нулевого порядка. Если , где  - достаточное малое положительное число, то говорят, что  находится в  - окрестности функции . Расстоянием первого порядка между двумя непрерывно-дифференцируемыми функциями  и  на отрезке  называется величина

         (1.8)

Понятно, что из близости функций по мере  следует их близость и по мере . Обратное же не имеет место.

Если  - окрестность определяется мерой , то говорят о сильной  - окрестности, если же – мерой  - слабой  - окрестности.

Аналогично могут быть введенные понятия расстояний более высокого порядка.