Частица в одномерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Энергетический спектр и нормированные собственные волновые функции стационарных состояний.

Частица в прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. В частности движение электрона в кулоновском потенциале ядра есть движение в потенциальной яме. Рассмотрим простейший случай одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. Её можно описать следующими уравнениями: Так как энергия частицы внутри ямы нулевая, то существует только вероятность нахождения частицы внутри ямы, так как она не может преодолеть стенки ямы: . Так как волновая функция имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства, то и. функцию только внутри ямы. Стационарное уравнение Здесь E – энергия частицы. Запишем граничные условия: Решением данного уравнения является функция .

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида:

,

имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям лишь при некоторых избранных значениях энергии, которые называются собственными.

Совокупность собственных значений энергии называется спектром этой величины.

Если средние значения всех физических величин, характеризующих состояние микрочастицы, не зависят от времени, состояние называется стационарным,и оно описывается функцией вида:

.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет вид:

,

или .

Решения этого уравнения образуют дискретный энергетический спектр, определяемый номером состояния n, каждое из этих состояний является стационарным.

Основным состоянием называется состояние, описываемое волновой функцией, которая соответствует наименьшему значению энергии Е .

Иногда одному и тому же значению энергии Е соответствует несколько различных состояний частицы. Такие состояния называются вырожденными, а их число называют кратностью вырождения.

Частица в трехмерной потенциальной яме с непроницаемыми стенками. Энергетический спектр и нормированные собственные волновые функции стационарных состояний. Вырожденные и невырожденные уровни энергии. Кратность вырождения энергетического уровня.

Трехмерная потенциальная яма с непроницаемыми стенками.Пусть частица находится внутри потенциального «ящика» в виде куба, длина ребер которого равна L. Потенциальная энергия внутри куба равна нулю, а на гранях куба и во всем остальном пространстве обращается в бесконечность. Вне «ящика» волновая функция .

Поскольку движение частицы в ящике вдоль осей и происходит независимо, волновую функцию можно представить в виде произведения:

В этом случае трехмерное уравнение Шредингера для стационарных состояний разбивается на три одномерных уравнения типа уравнения для осей x,y,z. Решение этих уравнений приводит к полной энергии

,

зависящей от трех квантовых чисел , которые принимают значения: 1, 2, 3, 4…, независимо друг от друга ( ).

Энергетические состояния, для которых , являются невырожденными, им соответствует одна волновая функция. Остальные состояния оказываются вырожденными: одному уровню энергии соответствует несколько квантовых состояний частицы с разными волновыми функциями.

Энергетический уровень, которому соответствует не одно, а несколько состояний частицы, называется вырожденным уровнем, а число соответствующих ему состояний называется кратностью вырождения или степенью вырождения уровня.

Состояние с квантовыми числами - основное, оно имеет наименьшее значение энергии.

Энергетический спектр(закон дисперсии) — зависимость энергии частицы от импульса. Для свободной частицы закон дисперсии изотропен и зависит квадратично от импульса. Такой же параболический закон дисперсии встречается в физике твёрдого тела, поскольку при движении электрона в кристаллах, таких как кремний или арсенид галлия в низкоэнергетическом пределе закон дисперсии имеет параболическую зависимость от квазиимпульса вблизи дна зоны проводимости. В твёрдом теле по аналогии со свободной частицей вводят эффективную массу для частиц, отличную от массы частицы в вакууме и в общем случае имеет место зависимость этой массы от направления в кристалле. Энергетический спектр частиц в твёрдом теле имеет более сложную структуру по сравнению со свободной частицей. Его знание очень важно для предсказания транспортных, оптических свойств электронного и дырочного газа в полупроводниках. На двумерной гексагональной решётке закон дисперсии линеен по волновому вектору, что делает квазичастицы безмассовыми