Закон изменения и сохранения среднего значения физической величины в квантовой механике.

В квантовой механике большой интерес представляет вопрос об изменении во времени среднестатистических значений физических величин , характеризующих микрообъект:

(1)

Найдём материальную производную от среднестатистического значения :

(2)

Учитывая, что , и , перепишем (2) в виде

(3)

Линейные операторы используемые в квантовой механике являются эрмитовыми, причём условием эрмитовости является следующие соотношение:

(4)

Положим , . Тогда:

(5)

С учётом (5)

(6)

Кроме того (7)

Использую (6) и (7), запишем (3) в виде

(8)

Оператор называется квантовыми скобками Пуассона. Выражение (8) представляет собой закон изменения во времени средне вероятного значения физической величины :

Рассмотрим частные случаи: - оператор коммутирует с оператором Гамильтона , т.е. . Тогда

(9) ;

- физическая величина явно не зависит от времени . Тогда

(10);

- операторы и коммутируют и физическая величина не зависит от времени. Тогда

(11),

т.е. физическая величина является константой (интегралом движения) и для неё имеет место закон сохранения средне вероятного значения . Очевидно (11) есть аналы классического закона сохранения величины . Только в отличие от классической физики сохраняется не сама величина , а её средне вероятное значение .