Волновое уравнение для свободно движущейся частицы и его обобщение Шрёдингером. Нестационарное уравнение Шрёдингера.

Для того чтобы описать распределение вероятности нахождения частицы в данный момент времени в некоторой точке пространства, введем функцию, которая является функцией времени и координат, обозначается греческой буквой ψ и называется волновой функцией или просто пси-функцией.

Свободная частица – частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Т.к. на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси x) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера для стационарных состояний примет вид:

(1)

Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (1) является функция , гдеA=const и k=const, с собственным значением энергии:

(2)

Функция  представляет собой только координатную часть волновой функции . Зависящую от времени волновую функцию можно представить в виде:

(3)

где .

Функция (3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.

Нестационарное уравнение Шредингера имеет вид

,

здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, - оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию

.

U(x,y,z,t) – в рамках наших задач потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле. Из уравнения Шредингера следует, что вид пси-функции определяется функцией U, т.е. в конечном счете, характером сил, действующих на частицу.

Уравнение Шредингера дополняется важными условиями, которые накладываются на пси-функцию. Этих условий три:

1) функция ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

2) производные должны быть непрерывны

3) функция должна быть интегрируема, т.е. интеграл

Волновая функция и ее свойства. Принцип суперпозиции состояний. Скалярное произведение пси-функций. Нормированная пси-функция и ее содержательный смысл. Плотность вероятности. Условие нормировки.

Волнова́яфу́нкция, или пси-фу́нкция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где |x= |x1, x2, …, xn— координатныйбазисныйвектор, а — волноваяфункциявкоординатномпредставлении.

Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадратуабсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Свойства:
1) волновая функция должна быть конечной (вероятность не может быть больше 1)

2) волновая функция должна быть однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной).

3) волновая функция должна быть непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

4) функция может интерферировать сама с собой

5) абсолютное значение функции велико там, где наиболее вероятно нахождение частицы или фотона

6) функция описывает поведение отдельной частицы или фотона, а не статистическое распределение многих частиц.

Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ₁, ₂, …, _n, …, то она также может находиться в состоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций:

где C_n (n = 1, 2, ...) – комплексные числа.

Еслиобеволновыефункции, начальнуюψиконечнуюφ, отнормироватьнаединицу, тоскалярноепроизведениедаетамплитудувероятноститого, чтосистема, находившаясявсостоянииψ, будетобнаруженавсостоянииϕ. Другимисловами, мыимеемсистемувсостоянииψиставимопыт,которыйдолженответитьнавопрос: ≪А ненаходитсялисистемавсостоянииϕ?≫Причемеслиответбудетположительным, тосистемаивсамомделеокажетсявэтом состоянии. Скалярное произведение

задает соответствующую амплитуду вероятности.

Волновая функция  по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Условие нормировки для вероятности состояния физической системы отражает факт: если физическая система существует, то она находится в одном из доступных ей состояний.

Оператор в пространстве состояний микрочастицы. Сложение и умножение на множестве операторов. Коммутатор операторов. Линейный оператор. Оператор, сопряженный данному оператору. Самосопряженный оператор. Эрмитов оператор.

Определение 1.Оператором назыв. правило, по которому одной функции ставится в соответствии другая функция тех же независимых переменных .

Определение 2.Оператором назыв. линейным, если выполняются 2 условия:

Определение 3. Суммой операторов и назыв. оператор , который если для произвольной функции выполняется условие .

Определение 4.Произведением операторов и назыв. оператор , удовл. условию: .

Операторы, вообще говоря, образуют алгебру некоммутирующих величин .

Определение 5.Оператор назыв. коммутатором операторов и .

.

Определение 6.Если в результате действия оператора на некоторую функцию ,в результате получается та же функция, умноженная на постоянную , т.е. , где - назыв. собственной функцией, а - собственным значением.

Определение 7.Совокупность всех собственных значений назыв. его спектром. Очевидно, спектры бывают дискретные, сплошные и смешанные.

Определение 8.Если каждому собственному значению соответствует единственная собственная функция, то спектр назыв. невырожденным. Если одному собственному значению соответствует различных собственных функций , то спектр назыв. вырожденным с кратностью вырождения .

Определение 9.Оператора назыв. самосопряженным или эрмитовым, если для любых функций и справедливо равенство:

.

Все физические операторы, введенные ранее явл. линейными и эрмитовыми.

Теорема 1.Собственные значения эрмитовых операторов всегда явл. действительными числами.

Определение 10.Функция и назыв. ортогональными, если справедливо равенство .

Теорема 2.Собственные функции линейных эрмитовых операторов взаимно ортогональны.

Оператор  называется сопряженным оператору , если для любых  и справедливо равенство

.

Собственные значения и собственные функции оператора. Спектр собственных значений оператора. Кратность вырождения. Физический смысл спектра собственных значений эрмитова оператора, поставленного в соответствие динамической переменной. Среднее значение динамической переменной.

Собственные значения оператора, сопоставляемого данной механической величине, суть те значения, которые может принять эта величина в условиях, создаваемых ее измерением.

Основные свойства собственных функций. Значения, которые может принимать данная физическая величина называют в квантовой механике ее собственными значениями. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений оператора .

Если при действии оператора на некоторую функцию получается та же самая функция, умноженная на число, то есть если

то такую функцию называют собственной функцией оператора , а число его собственным значением.

Квантовомеханические операторы имеют не одну, а множество собственных функций и соответствующих им собственных значений. При этом совокупность собственных значений называют спектром оператора. Спектр оператора считается дискретным, если он состоит из счетного множества значений для соответствующих набору собственных функций , которые представляют собой регулярные решения уравнения вида

Спектр собственных значений оператора может быть и непрерывным, когда в (3.43) оказываются возможными все значения , либо состоящим из отдельных полос, таких что возможные значения лежат в ряде интервалов.

В ряде случаев одному собственному значению оператора принадлежит не одна, а несколько собственных функций . Такие случаи называются вырожденными, а число таких функций называется кратностью вырождения.

Собственные функции эрмитового оператора с дискретным спектром образуют полную систему функций, т.е. обладают свойством полноты. Это верно для функций квантовой механики. Это означает, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям эрмитового оператора как по базису.

Физический смысл спектра собственных значений эрмитова оператора, поставленного в соответствие динамической переменной, устанавливается следующим утверждением: спектр собственных значений эрмитова оператора, поставленного в соответствие динамической переменной, исчерпывает все возможные результаты ее измерения.

Пусть мы имеет какую-то переменную A, и этой переменной соответствует оператор  , тогда среднее значение переменнойAв состоянии (угловыми скобками будем обозначать) будет определяться так:

Среднее значение динамической величины, полученное в результате многих измерений, равно математическому ожиданию этой величины, вычисленному с помощью её динамического оператора.