Операторы координат, импульса и проекций импульса на координатные оси. Коммутаторы операторов координат и проекций импульса.

В квантовой физике наряду с оператором импульса имеет место оператор координаты. Так как координата является вещественной величиной, то оператор координаты эрмитов.

Оператор вкоординатномпредставленииестьсамакоординатаx. Вимпульсномпредставленииоператоркоординатывыражаетсячерезпроизводнуюпоимпульсу,

В классической механике вектор момента импульса (момента количества движения) частицы относительно начала координат определяется формулой . В квантовой механике в координатном представлении вектору импульса соответствует оператор импульса . Поэтому можно ввести оператор момента импульса:

Декартовы компоненты этого оператора:

Вычислим коммутатор двух проекций момента импульса, используя известное нам соотношение коммутации :

Для остальных проекций момента импульса получаем: , ,

Так как коммутаторы в отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и вектор момента импульсаLне имеет определенного направления в пространстве.

Возможность одновременного точного измерения физических величин. Среднеквадратичное отклонение динамической переменной. Принцип неопределенности Гейзенберга для дополнительных друг к другу физических величин. Соотношения неопределенностей и следствия из них.

Физическая величинаaможет быть точно измерена только в такой системе, квантовое состояние которой описывается волновой функцией, являющейся одной из собственных функций соответствующего этой физической величине оператора .

При этом, вовсе не обязательно, чтобы в этом квантовом состоянии другая физическая величина была бы также точно измерима. Эти физические величины и будут одновременно точно измеримы только в том случае, если соответствующие им операторы и имеют общую систему собственных функций.

Если две разные физические величины и могут быть одновременно точно измерены, то соответствующие им операторы и должны быть коммутирующими операторами, то есть для них должно выполняться соотношение

Среднеквадратичное отклонение (СКО). Встречаются названия «стандартное отклонение» или «сигма». Формула стандартного отклонения имеет вид:

Для получения этого показателя по выборке используют формулу:

Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой механике — фундаментальное соображение (соотношение неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного определения пары характеризующих систему квантовых наблюдаемых, описываемых некоммутирующимиоператорами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного полей). Более доступно он звучит так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую. Соотношение неопределённостей задаёт нижний предел для произведения среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.

Соотношения неопределённостей– фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного определения так называемых доп. физических величин, характеризующих систему (например, координаты и импульса). В упрощённой формулировке эти соотношения утверждают, что дополнительные физические величины не могут быть одновременно точно определены. Неопределённостей соотношения являются следствием двойственной, корпускулярно-волновой природы частиц материи, отражением вероятностной (статистической) сути квантовой механики.

Неопределённостей соотношения имеют вид неравенств, например, ΔxΔp> ћ = h/2π, где Δx – неопределённость координаты (частицы или системы), Δp – неопределённость её импульса, а h = 6.6·10^-34Дж^.с = 4.1·10^-15эВ^.с - постоянная Планка. Отсюда видно, что произведение неопределённостей координаты и импульса не может быть меньше ћ, и никаким усовершенствованием методов наблюдения нельзя преодолеть этот рубеж. Увеличение точности определения координаты неизбежно ведёт к потере точности определения импульса. Предельная точность одновременного определения координаты и импульса даётся соотношением Δx·Δp ≈ ћ.

Другая важная пара дополнительных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет видΔЕ·Δt> ћ. Это соотношение для релятивистских системы или частиц (двигающихся со скоростью близкой к скорости света с) может быть получено из соотношения неопределённостей для координаты и импульса простым преобразованием: Δx/с·Δpс = ΔtΔЕ> ћ. Полученное соотношение для времени и энергии можно трактовать следующим образом. Для того, чтобы определить энергию частицы (системы) с точностью ΔЕ, необходимо проводить измерения в течение промежутка времени Δt> ћ/ΔЕ. Следствием этого соотношения является возможность виртуальных (ненаблюдаемых) процессов, лежащих в основе механизма взаимодействия частиц в квантовой теории поля. Две частицы взаимодействуют, обмениваясь с нарушением баланса энергии на величину ΔЕ виртуальным (ненаблюдаемым) переносчиком взаимодействия, существующим в течение времени Δt< ћ/ΔЕ.

Оператор Гамильтона (гамильтониан). Операторы момента импульса и его проекций на координатные оси. Коммутаторы операторов проекций момента импульса. Оператор квадрата момента импульса и его коммутаторы с операторами проекций момента импульса на координатные оси.

Гамильтониан, оператор Гамильтона − оператор полной энергии. = + , − оператор кинетической энергии, − оператор потенциальной энергии.

Вычислим коммутатор двух проекций момента импульса, используя известное нам соотношение коммутации :

Для остальных проекций момента импульса получаем: , , . Так как коммутаторы в отличны от нуля, то две любые проекции момента импульса не могут одновременно иметь определенные значения. Следовательно, и вектор момента импульсаLне имеет определенного направления в пространстве.

Модуль момента импульса частицы в квантовой механике определяется в задаче на собственные функции и собственные значения оператора квадрата момента импульса:

Введём операторы , , для которых имеют место соотношения:

, , .(1)

В терминах этих операторов квадрат момента импульса

(2)

Из (1) и (2) сразу же следует, что . Таким образом, в квантовой механике векторная величина момента импульса не может иметь определенного значения. Определенное значение имеют одновременно абсолютная величина момента импульса (квадрат момента импульса сохраняется) и одна из его проекций, которая не может совпадать с модулем

16. Оператор квадрата момента импульса и оператор z-проекции момента импульса в сферической системе координат. Спектр собственных значений модуля и z-проекции момента импульса. Кратность вырождения собственного значения модуля момента импульса.

Оператор квадрата момента импульса:

Более удобно рассматривать проекции оператора момента импульса не в декартовых, а в сферических координатах, которые связаны друг с другом соотношениями:

.

В сферических координатах операторы:

С помощью выписанных соотношений получаем выражения для проекций оператора момента импульса в сферических координатах:

, , .

Проекции оператора определяются только угловыми переменными и не содержат зависимости от . Рассмотрим оператор квадрата момента импульса:

Оператор оператор Лежандра.

Следствие: одновременно измеримы лишь квадрат момента импульса и одна из его проекций (в качестве таковой обычно выбирают L_z). Это значит, что вектор L в квантовой механике не имеет определенного направления и его нельзя считать классическим вектором с тремя определенными компонентами. Таким образом, «квантовый момент импульса» можно условно представить себе как вектор фиксированной длины (определенное значение квадрата момента импульса), направленный под фиксированным углом к оси z (определенное значение проекции), но прецессирующий вокруг этой оси (другие компоненты не определены). Это не более чем механическая аналогия, но она верно отражает существенные свойства момента импульса в квантовой механике.

Вырождение энергетических уровней -существование двух или более стационарных состояний квантовой системы (атома, молекулы) с одинаковыми значениями энергии. Система, полная энергия которой определяется заданием оператора Я (гамильтониана), может иметь т стационарных состояний, для которых уравнение Шредингера Hφ_i = Eφ_i определяет соответствующие волновые функции φ_i (i = 1, 2, ..., т) и одно значение энергии Е, одинаковое для всех т состояний. Энергетический уровень с энергиейЕпри m ≠ 1 называется вырожденным, число т различных независимых волновых функций - кратностью вырождения уровня. О состояниях с волновыми функциями φ_i говорят как о состояниях, вырожденных по энергии, или вырожденных состояниях. Если одному значению энергии отвечает одно состояние, т.е. m=1, уровень наз. невырожденным.

Вектор плотности потока вероятности. Уравнение непрерывности и его интерпретация как закона сохранения (массы или заряда) в дифференциальной форме. Вектор плотности потока вероятности для свободно движущейся частицы, состояние которой описывается плоской волной де Бройля.

Вектор плотности потока вероятности следующим соотношением:

.

Тогда для скорости изменения вероятности получим интегральное соотношение:

,

которое является уравнением непрерывности для поля вероятности в интегральной форме. Его физический смысл заключается в следующем: изменение вероятности нахождения частицы в некотором объёме V равно с обратным знаком потоку вектора через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объём. Знак минус в правой части соответствует естественному предположению о росте вероятности при поступлении в объём V извне потока вероятности и убывании при изменении направления вектора на поверхности S.

Уравнение непрерывности как раз соответствует закону сохранения заряда, имеется в виду следующее равенство:

,

где в левой части уравнения – заряд, вышедший за единицу времени за пределы объема V через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем, в правой – убыль заряда в единицу времени внутри этого объема, эта величина показывает, как быстро изменяется заряд, находящийся внутри объема. Значки частной производной в правой части уравнения означают, что мы вычисляем поток по области с фиксированными границами. Так как слева стоит величина положительная, выражение справа тоже должно быть положительно, но у нас заряд со временем убывает, поэтому мы и ставим перед частной производной заряда по времени знак минус.

Дифференциальная форма закона сохранения заряда будет иметь вид:

Физический смысл волн де Бройля заключается в том, что интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства пропорционально вероятности обнаруженной частицы в этой точке пространства.

Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

причем одинаковая в любой его точке.