Операція здобуття кореня n-ого степеня з комплексного числа

Нехай задане комплексне число .

Означення Коренем n-ого (n≥2) степеня з комплексного числа  називається комплексне число  таке, що

.

Нехай число  задано в алгебраїчній формі . Шукатимемо  також в алгебраїчній формі . Розглянемо найпростіший випадок n=1. Тоді за попереднім означенням треба знайти дійсні числа с і d такі що

Тобто,

Порівнюючи дійсні та уявні частини, отримаємо дійсну нелінійну систему рівнянь.

Більш складна система виникає, якщо таким шляхом вилучати корені степеня n≥3.

Розглянемо це питання для комплексного числа  заданого в тригонометричній формі .

Шукатимемо  також в тригонометричній формі .

За означенням, користуючись формулою Муавра, маємо

.

З цієї рівності випливає

Звідси випливає  (арифметичний корінь), .

Отже

Насправді, щоб отримати всі корені достатньо змінювати . Нехай . Доведемо, що  збігатиметься з одним з коренів . Поділимо к на n:

.

Тоді

Скористаємося періодичністю тригонометричних функцій, тоді

Отже, отримали формули

Зауваження В шкільному курсі символ  вживався лише для арифметичних коренів. Тепер ми вживатимемо цей символ в більш широкому сенсі.

Корені n-ого степеня з одниці

Застосуємо отриману формулу в окремому випадку при . Подамо  в тригонометричній формі:

Тоді,

Корені  n-ого степеня з 1 мають цікаві властивості.

Властивість 1 Добуток двох коренів n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Доведення. Нехай  та  - корені n-ого степеня з одиниці, тобто .  Треба довести, що , тобто що .

Розглянемо

Внаслідок асоціативності і комутативності множення комплексних чисел маємо

що і треба було довести.

    З цієї властивості випливає наслідок.

    Наслідок 1. Будь-який натуральний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Властивість 2 Число обернене до кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

Доведення. Нехай ,  - число обернене до , тому . Треба довести, що , тобто .

    Розглянемо . Звідси внаслідок коммутативності і ассоциативності множення маємо . Оскільки , то , що і треба було довести.

    Наслідок 2. Будь-який від`ємний степінь кореня n-ого степеня з одиниці є також коренем n-ого степеня з одиниці.

    Це випливає з того, що .

    Оскільки , то з наслідків 1 та 2 випливає: будь-який цілий степінь кореня n-ого степеня з одиниці також є коренем n-ого степеня з одиниці.

    В подальшому ці властивості в розділі теорії груп дозволять побудувати мультиплікативну групу коренів n-ого степеня з одиниці.

Розглянемо властивість, важливу з практичної точки зору.

    Властивість 3. Добуток кореня n-ого степеня з числа   на корінь n-ого степеня з одиниці є коренем n-ого степеня з числа .

Доведення. Нехай . Треба довести, що , тобто що .

Розглянемо , що і треба було довести.

З цієї властивості випливає, що всі корені n-ого степеня з числа   можна отримати помноживши одного з них на кожний корінь n-ого степеня з одиниці.

Комплексно-спряжені числа

Означення. Числа вигляду  та  називаються комплексно-спряженими.

Очевидно, що сума і добуток комплексно-спряжених чисел

,

.

є дійними числами.

Відмітимо важливі для подальшого властивості.

Властивість 1. Число комплексно-спряжене до суми дорівнює сумі чисел спряжених до доданків.

.

Доведення. Нехай , , тоді . Тому .

Аналогічно можна довести (пропонується зробити це самостійно):

1. ;

2. ;

3. .

Нерівність трикутника

Як і для дійсних чисел для комплексних чисел має місце нерівність трикутника

Доведення. Спочатку доведемо геометрично, що .

Зобразимо на площині комплексні числа  та , побудуємо геометрично суму . Отримаємо трикутник  зі сторонами

Тоді, за нерівністю трикутника маємо

.

Отже, друга частина нерівності доведена.

Доведення першої частини нерівності зведемо до другої частини. Для цього запишемо очевидну нерівность.

,

Застосуємо до цієї суми доведену нерівність

.

Зауважимо, що  (довести самостійно). Тоді маємо нерівність в області дійсних чисел

.

А тому,

,

що і треба було довести.

Якщо в нерівності трикутника покласти , то отримаємо і таку нерівність .

Література

1. Ильин В.А. Аналитическая геометрия/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1971. – 232с.

2. Ильин В.А. Линейная алгебра/В.А.Ильин, Э.Г.Позняк. – М.:Наука, 1984. – 232с.

3. Завало С.Т. Курс алгебри. – К.: Вища шк., 1985. – 504с.

4. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.:Наука, 1979. – 512с.

5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.:Наука, 1975. – 431с.

6. Моденов П.С. Аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1969. – 670с.

7. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1984. – 320с.

8. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М.: Гостехиздат, 1949. – 336с.

9. Тышкевич Р.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия/ Р.И.Тышкевич, А.С. Феденко. – Минск: Вышейшая школа, 1968. – 505с.

10. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1984. – 336с.

11. Бурдун А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии/ А.А.Бурдун, Е.А.Мурашко, М.М.Толкачев, А.С.Феденко. – Мн.: Універсітэцкае, 1999. – 302с.

12. Гетманцев В.Д. Лінійна алгебра і лінійне програмування. – К: Либідь, 2001. – 256с.

13. Гриньов Б.В. Аналітична геометрія./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 344с.

14. Гриньов Б.В. Вища алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 184с.

15. Гриньов Б.В. Векторна алгебра./Б.В.Гриньов, І.К.Кириченко. – Харків: Гімназія, 2008. – 164с.

16. Варех Н.В. Лабораторні роботи до курсу лінійної алгебри та геометрії/ Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, Н.А.Лихолат, С.Д.Сотникова. – Д.: РВВ ДДУ, 1992. – 52с.

17. Варех Н.В. Методи обчислення визначників n-го порядку/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко, В.Б.Круглушина. – Д.: РВВ ДДУ, 1995. – 28с.

18. Варех Н.В. Лінійні оператори/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДДУ, 2003. – 28с.

19. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Многочлены от одной переменной»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ, 1989. – 32с.

20. Варех Н.В. Методические указания к самостоятельному изучению раздела «Плоскость»/ Н.В.Варех, Н.А.Лихолат, О.М.Ревин, В.Н.Трофимов. – Д.: РВВ ДДУ,. – 1992. – 32с.

21. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2005. – 48с.

22. Варех Н.В. Практикум із дисципліни «Алгебра та геометрія»/Н.В.Варех, М.П.Д’яченко. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 76с.

23. Варех Н.В. Практикум із векторної алгебри/Н.В.Варех, Н.Л.Козакова. – Д.: РВВ ДНУ, 2007. – 52с.