Тригонометрична форма комплексного числа. Операції множення та ділення в тригонометричній формі.

    Нехай задано комплексне число a = (a, b) = a + b×і , де a і b – декартові прямокутні координати точки a, що зображає комплексне число.

    Введемо полярну систему координат таким чином, щоб полюс її збігався з початком декартової системи, а полярна вісь – з вісью 0х.

Нехай точка a має полярні координати a (r,j). Використовуючи зв¢язок між декартовою і полярною системами, маємо

                    a = a + bi = r×cosj + r×i×sinj

Звідси a = r (cosj + i×sinj), отримана форма запису комплесного числа називається тригонометричною формою, r – модуль комплексного числа a ( r = ½a½), j - аргумент к a (j = arg a).

Таким чином ми довели, що будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі.

Розглянемо операції множення та ділення в тригонометричній формі.

Нехай задно два комплексних числа в тригонометрчній формі

a = r₁ (cos  + i sin )

b = r₂ (cos  + i sin ) .

Треба одержати a× b = r (cos j + i sin j) . Для того, щоб це зробити перейдемо від тригонометричної фори до агебраїчної і перемножимо.

a× b = ( cos  +  sin ) ( ) =

= ,

тобто a×b = (cos( + )+i×sin( + ) ).

Звідси випливає:

r=r₁r₂, r=|a× b|, r₁=|a|, r₂=|b|, |a× b|=|a|×|b|.

j = +  , j = arg (ab) , = arg a , = arg b , arg (ab) = arg a + arg b .

Таким чином ми одержали, що

1) модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів.

2) аргумент добутку двох чисел дорівнює сумі аргументів.

Підсумовуючи це, маємо

Правило: Для того, щоб перемножити два числа в тригонометричній формі, треба перемножити їх модулі і додати аргументи.

Розглянемо частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі

Домножимо чисельник і знаменник на

Отже, отримали правило

, arg ( ) = × = arg a - arg b.

Операції піднесення до степеня

Поняття цілого степеня комплексного числа  вводиться так само як і для дійсного числа. Нагадаємо, що  при .

Домовились вважати . Для введення  існують два шляхи.

1) , де

2)

Для корректності введеного поняття треба виконати вправу:

1) Довести

2) Довести  при .

1. Розглянемо спочатку операцію піднесення в алгебраїчній формі. Нехай задано число . Оскільки з попередніх означень випливає, що піднесення до цілого степеня зводиться до піднесення до натурального степеня, то можна скористатися формулою Бінома Ньютона:

Розглянемо таблицю множення числа і 

 з цього випливає   

Використовуючи таблицю множення та виділяючи дійсну та уявну частину, отримаємо

(1)

2. Розглянемо операцію піднесення до степеню, коли  задано в тригонометричній формі.

Використовуючи правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі, маємо

.

Тобто, - формула Муавра

(2)

Застосуємо отримані рівності (1) і (2) для знаходження розкладання  і  через  і . Окремі випадки цих формул при n=2,3 відомі зі шкільного курсу.

Застосуємо до числа  формулу (2). В тригонометричній формі

                                       (3)

Застосуємо формулу (1) при , отримаємо

Порівнюючи в формулах (3) і (4) дійсні та уявні частини, отримаємо

                 (4)