Потенциальное силовое поле и силовая функция

Работа на перемещение  силы, приложенной в точке , вычисляется по формуле

          (4.33)

Вычислить данный интеграл, не зная происходящего движения
(т. е. зависимостей x, y, z от времени t) можно лишь в случае, когда сила зависит только от положения точки, т. е.  координат x, y, z. Про такие силы говорят, что они образуют силовое поле.

Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на помещённую материальную частицу действует определённая по модулю и направлению сила, зависящая от положения частицы. Примером силового поля служит поле тяготения планеты или Солнца.

Силы, определяющие проекции на оси координат, задаются уравнениями:

.                     (4.34)

Однако, если окажется, что выражение, стоящее в формуле (4.33) под знаком интеграла  и представляющее собой элементарную работу силы, будет полным дифференциалом некоторой функции  то

 или .       (4.35)

Функция , дифференциал которой равен элементарной работе, называется силовой функцией. Силовое поле, для которого существует силовая функция, называется потенциальным, а силы, действующие в этом поле – потенциальными . Если в формулу (4.33) подставить выражения из равенства (4.35), то получим:

 ,                       (4.36)

где ,  – значения силовой функции в точках  и .

Следовательно, работа поступательной силы равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути, и не зависит от вида траектории движущейся точки .

Силы, работа которых зависит от вида траектории или закона движения точки приложенной силы, называются непотенциальными (силы трения и сопротивления среды).

К потенциальным относятся силы тяжести, упругости тяготения.

Для силы тяжести, если ось z направлена вверх:

, считая  при ,  находим: ;

для упругой силы, действующей вдоль оси Ox:

, считая  при , находим: ;

для силы тяготения:

, откуда, считая  при ,

,

.

Потенциальная энергия

Для потенциальных сил можно вывести понятие о потенциальной энергии как о величине, «характеризующей запас работы», которым обладает материальная точка в данном пункте силового поля.

Потенциальной энергией материальной точки в данном положении М называется скалярная величина П, равная той же работе, которую
произведут силы поля при перемещении точки из положения М в нулевое:

Будем считать нулевые значения точек для функции  и  совпадающими. Тогда  и согласно формуле (4.36)

,

где U – значение силовой функции в точке М поля.

Отсюда

,

т. е. потенциальная энергия в любой точке равна значению силовой функции в этой точке, взятому с обратным знаком.

Отсюда видно, что вместо силовой функции можно пользоваться понятием потенциальной энергии. В частности, работу потенциальной силы (4.34) можно вычислять по формуле

                                                    .                              (4.37)

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии движущейся точки в начальном и конечном её положениях.