Кинетическая энергия системы

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех ее точек.

                                         .                                       (4.20)

Кинетическая энергия является характеристикой поступательного и вращательного движения системы. Она является положительной скалярной величиной, зависит от направлений движения и не характеризует изменений этих направлений. На изменение кинетической энергии влияет действие внешних и внутренних сил.

Если система состоит из нескольких тел, то

.

Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс. Следовательно, для любой точки V_к = V_с и согласно формуле(4.19)
                                  

или

                                         ,                                      (4.21)

где М – масса тела;

  V_с – скорость центра масс.

Вращательное движение (рис. 4.11).

,

где h_к – расстояние точки от оси вращения;

  – угловая скорость.

Рис. 4.11

Подставляя в (4.20) значение скорости, получим:

                                          ;

;

.                                    (4.22)

Плоскопараллельное движение. При этом движении скорости всех точек в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 4.12). Следовательно, по формуле (4.21)

               ,                                     (4.23)

где I_Р – момент инерции относительно названной оси;

 – угловая скорость тела.

Величина I_Р будет переменной, так как положение центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо I_Р постоянный момент инерции I_с относительно оси, проходящей через центр масс С тела.

По теореме Гюйгенса . Подставим I_Р  в (4.19^/).

        Рис. 4.12    

Учитывая, что точка Р – мгновенный центр скоростей, то

,

где V_с – скорость центра масс С.

Окончательно

.                            (4.24)

Таким образом, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Общий случай движения. Если за полюс взять центр масс С тела
(рис. 4.13), то движение тела в общем случае будут слагаться из поступательного движения со скоростью V_с и вращения вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс.

Рис. 4.13

Тогда скорость в любой точке

где ; h_к – расстояние точки от оси СР;

 – абсолютная угловая скорость.

Учитывая, что ,

где  – масса тела;

 – момент инерции относительно мгновенной оси;

   , так как она представляет количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси ОР, проходящей через центр масс тела.

Окончательно получаем:

                                               .                                  (4.25)

Кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.