Теорема об изменении кинетической энергии системы

Представленная в разделе 3.5 теорема справедлива для любой точки системы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку системы с массой m_к , имеющую скорость V_к, то для этой точки

,

где  и  – элементарная работа действующих на точку внешних и внутренних сил. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, получим:

или

                                               .                             (4.29)

Равенство (4.29) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.

Проинтегрировав обе части этого выражения в пределах, соответствующих перемещению системы из некоторого начального положения, где кинетическая энергия равна Т₀, в положение, где значение кинетической энергии становится равным Т₁ ,будем иметь:

                                               .                             (4.30)

Полученное уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в конечном виде: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Рассмотрим два важных частных случая.

1. Неизменная система.

Неизменной будем называть систему, в которой расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются. В частности, такой системой является абсолютно твердое тело или нерастяжимая нить.

Пусть две точки В₁ и В₂ действуют друг на друга с силами  и  ( ), имеют в данный момент скорости V₁ и V₂ (рис. 4.16).Тогда за промежуток времени dt эти точки совершат элементарные перемещения  и .

Но так как отрезок В₁В₂ является неизменным, то по известной теореме кинематики проекции векторов  и , а следовательно, и перемещений  и   на направление отрезка В₁В₂ будут равны друг другу, . Тогда элементарные работы  и  будут одинаковы по модулю и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Этот результат справедлив для всех точек.

Рис. 4.16

Отсюда заключаем: для неизменной системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю и уравнения (4.29)и  (4.30) принимают вид

                                   или .              (4.31)

2. Система с идеальными связями.

Рассмотрим систему, на которую наложены связи, не изменяющиеся со временем.

Разделим все внешние и внутренние силы, действующие на точки системы, на активные и реакции связей. Тогда уравнение (4.29) можно представить в виде

,

где  – элементарная работа, действующая на каждую точку систему внешних и внутренних активных сил;

   – элементарная работа реакции наложенных на ту же точку внешних и внутренних сил.

Можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии системы при ее движении. Для таких связей должно быть, очевидно, выполнено условие:

.

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

Укажем некоторые виды таких связей:

скольжение тел вдоль неподвижной поверхности, трением о которую можно пренебречь, (работа реакции N равна нулю).

качение без скольжения тела по шероховатой поверхности работа нормальной силы N и силы трения F (т. е. касательная составляющая реакции) равна нулю;

работа реакции R шарнира, если пренебречь трением, будет равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении систем остается неподвижной (рис. 4.17);

если материальные точки В₁ и В₂ (см. раздел 5.3) рассматривать как связанные жестким (нерастяжимым) стержнем В₁В₂ , то силы  и  будут реакциями стержня; работа каждой из этих реакций не равна нулю, но сумма этих работ дает нуль.

Рис. 4.17

Для механической системы, на которую наложены идеальные связи,  имеем:

                                       или .                   (4.32)

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с идеальными связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении, приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.