Принцип сжимающих отображений.

 Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки притакого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число , что для любых двух точек  выполняется неравенство (1)

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x.

Теорема. (Принцип сжимающих отображений).

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть -произвольная точка в M. Положим Покажем, что последовательность фундаментальная. Действительно, считая для определенности  , имеем

Воспользуемся неравенством треугольника, получим:

Ρ(

Так как α , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел.

Положим

Если , то в силу (1) . Поэтому

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.

Если Ax=x,Ay=y, то (1) принимает вид ρ(x,y)

Так как , отсюда следует, что

Теорема доказана.

Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром и невырожденным ядром

Ядро интегрального уравнения Фредгольма (2) называется вырожденным,если его можно представить в виде конечной суммы производных двух функций, одна из которых зависит от , а другая от :

= (1)

Рассмотрим уравнение с таким ядром:

(2)

Теоремы Фредгольма.

Теорема1: данное однородное линейное уравнение 2 – го рода имеет и притом единственное решение при всякой функции f или соотв. Однородное уравнение имеет по крайней мере одно нетривиальное решение.

Теорема 2 : если для данного уравнения (1) имеет число место случай альтернативы,то он имеет и два транспонированного уравнения.

Z(x)= (ᶓ ,x)Z(ᶓ)dᶓ+f(x) (8)

Причем как данное уравнение и транспонированное имеет конечное число линейно независима решения, и число это одинаково для обеих уравнений.

Теорема3. Во втором случае альтернативы необходимым и достаточным условием сущ. решения неоднородного уравнения(1) явлю условие:  (x)Z(x)dx=0,где Z- любое решение транспанированного уравнения(8)
39. Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала. Первая вариация функционала. Основная лемма вариационного исчисления.

Во физических задачах наряду с задачами в которых необход. найти наиб и наим. значение некоторой ф-ии встречаются задачи о максимуме и минимуме величин особого рода, наз-ых функционалом

Под функционалом будем понимать переменную велечинуЮзначение которой опред-я выбором одной или нескольких ф-ийнапример,функционаломявл. длина l кривой y=y(x)соединяющей 2 заданные точки A( )и B( )

Исходя из приложеннейопред. Интеграла функционалом l,действ на ф-ю y=y(x):

L[y(x)]= dx

Вариационные исчисления изучает методы, позволяющие находить максимумы и минимумым значения для функционала abзадачах,где требуется исслед. Функционала на max и minназ-я вариационное исчисления.

Лемма1

Если для каждой, непрерыв на отрезке( , ) ф-ии η(x) интеграл (x)y(x)dx=0

Где Ф-непр. На отрезке [x0,x],то Ф(х) = 0 на этом же отрезке.
40. Уравнение Эйлера и необходимое условие экстремума простейшего функционала.

А необходим условием oxtrдифф-я ф-ииявлравенство:ɥ’|α,0=0

Поэтому необходимым условием oxtr функционала будет -  (Fy’))δydx=0

Или продифф-овFy-Fxy’-Fyy’*y’-Fy’y’*y’’=0 -----уравнение Эйлера.

Задача о брахистохроне.

В этой задаче требуется опред-тьлинию,соединяющую 2 две заданные точки а и б не лежащие на одной вертикальной прямой и обладают тем св-ом,что тело скатится по этой линии за кратчайшее время.

Очевидно, что такой линией не будет прямой поскольку при движ-ние по прямой v будет нарастать сравнительно медленно.