Называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части (2)

Называется однородным линейным уравнением Эйлера.

Уравнения (1)и(2) подстановкой приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Уравнения

приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены

26,Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка. Имеем линейное однородное уравнение 2-го порядка

(*)

где р и q - постоянные действительные числа. Найдем частные решения в виде

у = е^kх, где k = const; тогда

Подставим в уравнение (*):

Т.к. , то,  - характеристическое уравнением по отношению к уравнению (*).

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их k₁ и k₂.

Возможны следующие случаи:

I. k₁ и k₂ – действительные, ;

частные решения:

Эти решения линейно независимы, т.к.

 общее решение имеет вид

II. k₁ и k₂ - комплексные числа;

Частные решения:

Общее решение:

 (#)

Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. При р=0, уравнение (*) имеет вид

Характеристическое уравнение принимает вид

Корни характеристического уравнения

.

Решение (#) принимает вид

III. k₁ и k₂ - действительные равные числа .

Частные решения: ,

Общее решение:

Линейные системы. Свойства решений линейных однородных систем.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n, j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система Y' = A(x)Y— однородной линейной системой.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из R^{n + 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.

Свойство 1. Сумма любого решения системы (2.2) и любого решения соответствующей однородной системы (4.2) является решением системы (2.2).

Доказательство.

Пусть с₁, с₂,…,с_n – решение системы (2.2), а d₁, d₂,…,d_n – решение системы (4.2) с теми же коэффициентами при неизвестных. Подставим в систему (2.2) x_i=c_i+d_i:

.

После перегруппировки слагаемых получим:

.

Но Следовательно, x_i=c_i+d_i является решением системы (2.2).

Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы (2.2) является решением соответствующей однородной системы (4.2).