Исследование устойчивости решения по первому приближению.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений n-го порядка:

Линейная система устойчива по Ляпунову при t ≥ t₀, если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t ≥ t₀.

Линейная система асимптотически устойчива по Ляпунову при t → ∞ , если каждое её решение x = φ(t) устойчиво по Ляпунову при t → ∞ .

Решения линейной системы либо все одновременно устойчивы, либо все неустойчивы. Справедливы следующие утверждения.

Теорема об устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений.Пусть в неоднородной линейной системе x' = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке [t₀ , ∞). Система устойчива при t ≥ t₀, тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 однородной системы x' = A(t) x устойчиво при t ≥ t₀.

Теорема об асимптотической устойчивости решений линейной системы дифференциальных уравнений.Пусть в неоднородной линейной системе x' = A(t)x + b(t) матрица A(t) и вектор-функция b(t) непрерывны на промежутке [t₀ , ∞). Система асимптотически устойчива при t → ∞, тогда и только тогда, когда тривиальное решение x = 0 (точка покоя) однородной системы x' = A(t)x асимптотически устойчиво при t → ∞.

Эти утверждения означают, что для исследования устойчивости линейной системы достаточно исследовать устойчивость точки покоя соответствующей однородной системы.

Рассмотрим автономную систему второго порядка:

Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁ /dt и dx₂ /dt зависят только от x₁ иx₂ и не зависят от t.

Обозначим
и .
Пусть — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости x(1), x(2) . Эта кривая называется фазовой кривойили фазовой траекторией системы.Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы.

Точка a, в которой правая часть системы обращается в нуль, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

Точка покоя a называетсяустойчивой по Ляпунову, если:
1) существует такое дельта большое нуля, что для при существует решение задачи Коши с начальным условиям ;
2) для всякого e>0 существует такое , что если и , то при всех .
Устойчивая точка покоя называется асимптотически устойчивой, если
при достаточно малых .

Очевидно, что линейная автономная система

имеет единственную точку покоя: x₁(t) = 0, x₂(t) = 0, при всех . При этом характер точки покоя (0, 0) (ее устойчивость, асимптотическую устойчивость, неустойчивость) можно установить по значениям собственных чисел l₁ и l₂ матрицы системы.
А именно, пусть l₁ и l₂ — собственные значения матрицыA исследуемой системы:

если l₁ и l₂— действительные отрицательные числа, то точка покоя устойчива и называется устойчивым узлом

если l₁ и l₂ — действительные положительные числа, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым узлом

если l₁ и l₂ — действительные числа, имеющие разные знаки, то точка покоя неустойчива и называется седлом

если l₁ и l₂ — комплексные числа, l_1,2 =Rell ± Imll и Rel не превышает нуля, то точка покоя устойчива, точнее, при Rel =0 точка устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром, при Rel< 0 она асимптотически устойчива и называется устойчивым фокусома если Rel>0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом