Уравнение с правой частью в виде квазиполинома. Зависимость решений от начальных данных.

Если же решается уравнение с постоянными коэффициентами, более экономным может оказаться так называемый метод квазиполиномов, если правая часть уравнения имеет специальный вид.

Определение.Квазиполиномом называют выражение вида

[P_s(x)cosqx + Q_r(x)sinqx], где P_s(x) и Q_r(x) - многочлены порядковs и t соответственно.

В различных приложениях теории О.Д.У. правые части f(x) уравнений с постоянными коэффициентами часто имеют подобный вид. Например, если такая функция описывает вынуждающее воздействие на некоторую механическую систему, находящуюся в колебательном режиме, то такое воздействие может зависеть нелинейно от времени x (полиномы P_s и Q_r), осциллировать с частотой q, и быть модулированным с амплитудойм .

Вначале рассмотрим частный случай, когда q= 0, то есть, квазиполином имеет вид P_s(x). Приэтом,P_s(x) = A₀x^s + A₁ x ^s-1 + A₂ x^s-2 + . . . + A_s . Тогда получаем:

a₀ . (1) . . y(x)= P_s(x).                    (11.8)

Будем искать частное решение уравнения (1) в виде квазиполинома: y(x)= , где  -многочлен того же порядка, что и P_s(x), но с неизвестными коэффициентами , , ,. . . . Подставляя искомое решение такого вида в (1), и пронося экспоненту через дифференциальный оператор, получим

a₀ . . .  = P_s(x).  (2)            (11.9)

Сокращая равенство на экспоненту, приходим к уравнению, связывающему два многочлена, так как дифференцирование любого многочлена также приводит к многочлену.

При этом, если ни одно из чисел –  не обращается в ноль, степень многочлена в левой части остается равной s , так как у операторного многочлена слева сохраняется свободный член

a₀ . . . , отличный от нуля. В результате, получаем равенство

R_s (x) = P_s(x) (3) (11.10)

двух многочленов одинаковой степени, причем коэффициенты многочлена R_s (x)  линейно зависят от коэффициентов многочлена . Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменной x в равенстве (3), получим алгебраическую систему, состоящую из s + 1 уравнения для s + 1 неизвестных , , ,. . . . Решая эту систему, получим явный вид искомого решения .

Теорема1:.Частное решение неоднородного уравнения (8.1) с постоянными коэффициентами и правой частью вида  [P_s(x)cosqx + Q_r(x)sinqx]строится в виде квазиполинома [ cosqx + sinqx], где t = max{s, r}, если ни один из корней характеристического уравнения (1.3) не совпадает с числами p±iq, и в виде

 [ cosqx + sinqx], если p±iq совпадает с корнем  кратности b_p.

24. Линейное уравнение Эйлера.

Линейное дифференциальное уравнение Эйлера имеет вид

Данное уравнение может быть сведено к линейному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной .

Частное решение однородного дифференциального уравнения Эйлера можно найти сразу в виде , где -- некоторая постоянная. Для нахождения этой постоянной надо подставить решение в уравнение и решить получившееся характеристическое (алгебраическое) уравнение относительно . При этом каждому вещественному корню кратности m будет соответствовать m частных решений , , ,... Каждой паре мнимых корней кратности m соответствует m пар частных решений , , , ,...

Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера можно решать методом вариации постоянных (предварительно необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения).

ИЛИ

Уравнение (1)