Теорема существования решения задачи Коши дифференциального уравнения первого

Порядка.

Условие (2) называется начальным условием или условиями Коши. (2)

Под задачей Коши будем понимать задачу об отыскании решения уравнения (1) удовлетв.данным (2)

Геометрически это означает, что из всего множества интегральных кривых нужно выделить ту интегральную кривую, которая проходит ч/з .

Естественно встаёт вопрос, есть ли вообще решение у уравнение (1), а если и есть, то сколько таких, удовл.условию (2).

Теорема 1.(теорема существования единственности решения) – если функция f и её частная производная  непрерывна в области D, то решения дифф.уравнения (1), удовлетв.начальным условиям (2) существенно и единственно.

4.Зависимость решений от начальных данных и от параметров.
Общим решением уравнения (1) в области Д называется функция , зависящую от одной производной постоянной С и удовл. Следующим условиям:

1)одна удовл.уравнению (1) при  допустимых значениях постоянной С.

2)каковы бы ни были нач данные (2) всегда найдётся значение С₀ постоянной С такое, что решение  удовл.этим нач данным, т.е.

Всякое решение  получаемое из общего решения  при конкретном значении с=с₀ назчастным решением уравнения (1).

Неявное задание общего решения f(x,y,c)=0, где С произвольная constназобщим интегральным уравнением (1)

Соотношение, которое получ из общего интеграла на конкретном значении С назчастным интегралом уравнения (1)

5 .Уравнение с разделяющими переменными
Дифф уравнения 1-го порядка вида  называется дифф уравнением с разделёнными переменными.

Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)

Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида:

Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.

 получим:

Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:

 есть общий интеграл уравнения (3).

Заметим, что при делении уравнения на произведение  могут быть потеряны решения при кот это произведение обращается в 0. Такие решения если будут, то будут особыми.

Значит, чтобы найти особые решения уравнения (3) необходимо прировнять произведение к 0, т.е.  и проверить является ли корни уравнения решения для уравнения (3).