Теорема Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости, об асимптотической устойчивости, о неустойчивости нулевого решения.

Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова.

 Теорема Ляпунова об устойчивости.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

=f(t,x) (t 0), (1)

Где x=x(t)= , f(t,x)=

Причем f(t,x) непрерывна на Z=  при некотором H>0.

Будем считать, что система(1) имеет нулевое решение ,т.еf(t.,0)=0

Определение 1. Пусть имеется функция V=V(t,x)

Рассмотрим произвольную пару (t,x)∈Z и соответствующие этой паре начальных дынных решение x=(τ;t,x) системы(1), так что x(t;t,x)=x. Производной по времени t функции V(t,x) в силу системы (1) называют функцию (2)

Где

 есть градиент функции V

Теорема 1.(теорема Ляпунова об устойчивости).Пусть дана система(1), имеющая нулевое решение. Если существует положительно определенная функция V=V(t,x) ,называемая функцией Ляпунова, которая обладает неположительной производной по времени  в силу системы (1),то нулевое решение этой системы устойчиво по Ляпунову.

Виды интегральных уравнений. Связь интегральных уравнений с дифференциальными.

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее под знаком интеграла неизвестную функцию.

Интегральным уравнением Фредгольма 2 рода называется уравнение вида:  (1)

Интегральным уравнением Фредгольма 1 рода называется уравнение вида:  (2)

Здесь -искомое решение, K и f-заданные функции, -параметр.Функция -называется ядром параметра,f(x)-свободным членом. Если fΞ0,то уравнение называется однородным, если f 0, то неоднородным.

Интегральным уравнением Вольтерра второго рода называется уравнение вида:                       (3)

Здесь y(x)- искомая функция, ядро  и свободный член f(x)- известны

Интегральным уравнением Вольтерра 1 рода называется уравнение вида:                             (4)

Уравнение Вольтерра модно в некоторых случаях рассматривать как частное уравнение

Фредгольма
33. Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка.

Рассмотрим линейную однородную систему:  , где -числа и |A| 0. Это автономная система. Мы знаем, что вид ее решения зависит от характеристических корней матрицы А.

 Изучив все возможные случаи решений, мы получим следующие располо-жения траекторий в окрестности точки покоя О(0,0):

1) Если . Точка покоя асимптотически устойчива. Точку покоя при таком расположении траекторий называют устойчивым узлом