Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Уравнения, разрешенные относительно производной.Стр 1 из 11Следующая ⇒
Прикладные задачи как источник основных представлений теории обыкновенных Дифференциальных уравнений. Принципы составления дифференциальных уравнений. Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д. Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x) Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: . Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение. Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у. При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа: 1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z. 2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение , то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи. 3)делим полученное неравенство на и переходим к lim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.
Принципы составления дифференциальных уравнений. Для составления и интегрирования дифференциальных уравнений приводят различные задачи физики, биологии, химии и т.д. Например, при решении задач искомая кривая представляется как график некоторой функции, как y=y(x) Все связные (названные) в задачах величины, выражаются через аргумент x, функцию y и её производную: . Полученное при таком условии соотношение и представляет собой дифференциальное уравнение. Уравнение (1) является искомым уравнением для нахождения неизвестной функции у. При решении физических задач процесс составления дифф. Уравнения разбивается на 3 этапа: 1)одну из величин выбираем в качестве независимой переменной 2-го в качестве зависимой переменной. Чаще всего в качестве независимой переменной выбираются время t, а в качестве искомых функций пространственные координаты x,y,z. 2)находим на сколько измениться искомая функция Х, если независимая переменная t получит достаточно малое приращение , то есть пытаемся оценить разность ч/з величины, данные в задачи. 3)делим полученное неравенство на и переходим к lim, когда в результате предельного перехода получаем дифф. Уравнение из которого можно найти искомую функцию.
.
Уравнения, разрешенные относительно производной. Дифф. уравнением наз. равенство, связывающее независимую переменную x и зависимую переменную y с её производной. Порядок самой старшей производной входящей в задание этого уравнения наз.порядком этого уравнения. Рассмотрим обыкновенные дифф.уравнения 1-го порядка вида (1): где F-заданная функция аргументов, F может определить не при всех значениях своих аргументов. Поэтому будем говорить об области определения функции F, D как область задания уравнения (1)’. Иногда (1)’ удаётся выразить производную y’ через независимую переменную x и зависимую переменную y, то есть получим уравнение вида: Это также уравнение первого порядка (обыкновенное) уравнение (1) называется уравнением относительно производной. Уравнение (1)’ –уравнение не разрешено относительно системы производной. Решением уравнения (1)’ будем называть всякую функцию y=y(x) определена на числовом промежутке которые при постановке в уравнении (1)’ обращает его тождество на интервале промежутка . Промежуток наз.промежутком опред.решения y(x). Следует отличить, что подстановка функции y в (1)’ возможна в том случае, если, когда y(x) имеет первую производную на всем интервале, а также при . Для описания геометрического смысла решения уравнения разрешенной относительно производной (1) рассмотрим координатную плоскость Oxy. Функция f может быть определена не во всей плоскости Oxy, а только в некоторой её части – области D. Относительно D будем считать, что это открытая область, на которой сама функция f и её частное непрерывны тогда решение y=y(x) в области Dопред.некоторую кривую. РИСУНОК!!! Эта кривая в каждой точке области D имеет касательную ;tg угла которой равен значению f в этой точке, значит данная кривая является гладкой. Эта кривая целиком лежащая в области D называется кривой дифф.уравнения(1). Другими словами интегральная кривая – это график решения; для выделения из всего множества уравнения (1) того решения, которое описывает наблюдаемый процесс, вводят дополнительные условие; требуют, чтобы функция в точке x0 принимала значение y0. Дифф уравнение (1) опред значение производной y’ в любой точке с координат (x,y) в области Д, а значит опрзнач условия координатной касательной к интегральной кривой, т.е. направление движения по интегральной прямой. РИСУНОК То есть уравнение (1) опред поле направления касательных. Геометрически задача интегрирования уравнения (1) сводится к поиску интегральной кривой, направление касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Изоклиной называют геометрическое место точек в области Д, в которых наклон касательных к решению один и тот же. Уравнение изоклины: Естественно, что для некоторых дифф уравнений сущ решение, которое во всех своих точках нарушают условия единственности решения, т.е.в любой окрестности в любой точке этого решения сущхотябы 2 интегральные прямые, проходящие через эту точку, такие решения будем называть особыми. В частности особым решением будут огибающие семейства интегральных кривых, если следует отметить то, что особое решение не может получить из общего ни при каком возможном значении параметра С (в том числе С=±∞ Поскольку для особого решения нарушаются условия единственности, то можно предложить след этапы нахождения общего решения. 1)найти множество точек, где частная производная обращаются в ∞. 2)если это множество точек образуют одну или несколько интегральных кривых, проверить являются ли они интегральными дифф уравнениями (1). 3)если это интегральные кривые, то проверить нарушаются ли в каждой точке условия единственности решения, т.е. являются ли эти кривые огибающими.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-30; просмотров: 213. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |