Построение области допустимых решений целевой функции F.

Построим прямоугольную систему координат, где ось ОХ обозначим за х₁, a OY - за х₂. Так как, согласно условию (3) х₁ и х₂ неотрицательны, то можно ограничится рассмотрением первого квадранта.

Рассмотрим первое ограничение: 3x₁ + 4х₂ ≤ 1700 (1)

Заменим в данном ограничении знак неравенства знаком равенства и построим прямую.

3x₁ + 4х₂ =1700 (1')

Для этого найдем две точки, принадлежащие данной прямой. Пусть, например, х₁=0, тогда подставив 0 в (1') получим 4х₂=1700 или х₂=425.

(0: 425) - координаты первой точки, принадлежащей прямой.

Пусть х₂ = 0, то 3x₁ = 1700, следовательно, x₁=567.

(567: 0) - координаты второй точки, принадлежащей прямой. Отметим эти точки на числовых осях.

Аналогично, для второго ограничения:

2x₁ + 5х₂ ≤ 1600 (2)

2x₁ + 5х₂ = 1600 (2')

При x₁ =0, х₂=320, (0; 320)

При х₂=0, x₁ =800 (800; 0)

Построим данные прямые (на рисунке они соответственно обозначены (1') и (2'))

Теперь найдем на чертеже такие полуплоскости, которые соответствуют неравенствам (1) (2).

Прямая (1') 3x₁ + 4х₂ = 1700 делит координатную плоскость на две полуплоскости. Одна полуплоскость расположена выше прямой, вторая ниже. Чтобы найти ту полуплоскость, которая соответствует неравенству (1), необходимо взять какую либо точку, принадлежащую одной из полуплоскостей и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то данная полуплоскость является искомой.

Например, возьмем точку с координатами (0; 0) и подставим ее координаты в неравенство (1) 3x₁ + 4х₂ ≤ 1700 или 0+0 ≤ 1700. Получается 0 ≤ 1700 данное неравенство является верным, следовательно, неравенству (1) удовлетворяет полуплоскость, лежащая ниже прямой (1').

Аналогично, поступим для неравенства (2) 2x₁ + 5х₂ ≤ 1600. Возьмем точку с координатами (0; 0). Получается 0 ≤ 1600 - данное неравенство верно. Неравенству (2) удовлетворяет полуплоскость, расположенная ниже прямой (2').

Стрелки на каждой границе, с какой стороны прямой выполнены ограничения. Учитывая, то что x₁ и х₂ являются неотрицательными, получаем, что четырехугольник ОАВС является областью, содержащей точки, для которых выполнены условия, заключенные в фигурные скобки.

Точки, лежащие внутри и на границе этой области являются допустимыми решениями, но нам нужны, только те, при которых функция F будет принимать максимальное значения.

 3.3.2 Построение прямой уровня

Возьмем произвольную точку, принадлежащую области допустимых решений четырехугольнику ОАВС, например, точку М с координатами (100; 100). Подставим координаты точки М в функцию F.

F(100; 100) = 2*100+4*100 = 600.

Прямая уровня будет иметь следующий вид: 2x₁ + 4х₂ = 600

Построим полученную прямую. Для этого необходимо найти координаты двух произвольных точек этой прямой. Одна точка у нас уже есть - это точка М(100; 100). Найдем еще одну точку. Пусть х₂=0, тогда х₁=300. Следовательно, координаты дополнительной точки (300; 0). Отметим полученные точки и построит прямую уровня (на рисунке 1 она обозначена (3')).

Значения функции F будут возрастать по мере того, как прямая уровня удаляется от начала координат в положительном квадранте. Направление возрастания функции F будет совпадать с вектором, координаты которого являются коэффициентами при переменных х₁ и х₂ функции F. На рисунке - это вектор а{2; 4}, отложенный от точки М.

Примечание. Обратите внимание, что вектор а, определяющий направление возрастания функции F, всегда будет перпендикулярен прямой уровня.

рис.2.1