Показательное распределение

Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,                                     (5.12)

где l - параметр распределения. 

 Кривая плотности распределения f(x)изображена на рис.5.3. Интегральная функция распределения равна

,                        (5.13)

ее график показан на рис 5.4.

M[X]=1/l;         D[X]=1/l²;     s_х=1/l;                  (5.13)

а вероятность попадания Х в заданный интервал значений  определяется следующим образом: .

Пример 5.5.СВ Т—время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов.

4 По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 400 часов. Искомая вероятность

P(T ³ 600 )= 1- P(T<600 )= 1- F(600)=1-(1-e^-600/400 )=e^-1,5 » 0,2231. 3

Нормальное распределение

СВ Х подчинена нормальному закону распределения,если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

,                              (5.14)

где a ‑ математическое ожидание, ‑ среднее квадратичное отклонениеХ.

Интегральная функция нормального распределения имеет вид

;                               (5.15)

где  - функция Лапласа, или интеграл вероятностей.

Основные свойства функции Лапласа:

1) F(0) = 0;

2)  (нечетная функция);

3) F(¥)=0,5

Таблица значений функции F(х) для  приведена в приложении, поскольку она является нечетной, то для отрицательных значений х пользуются теми же таблицами, что и для положительных.

Вероятность попадания Х в заданный интервал значений :

,                  (5.16)

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения  нормальной СВ Х от ее математического ожидания меньше положительного числа d, определяется выражением:

.                                    (5.17)

 В частности, при а=0, P(êХ ê<d) =2F(d/s).

Если в равенстве 5.17.  взять , получим так называемое «правило трёх сигм», которое является одним из необходимых условий того, что СВ имеет нормальный закон распределения. В самом деле,

т.е. отклонение нормальной СВ от своего математического ожидания а на величину, равную  является событием практически достоверным.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана

нормального распределения соответственно равны:

а_s=0, е_k=0, M_o=a, M_e=a, где a=M[X].

График плотности вероятности нормального распределения (рис.5.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Пример 5.6. Ошибка измерения длины платформы станции метро подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5см, а среднее квадратичное отклонение равно 10см. Найти вероятность того, что измеряемое значение длины платформы будет отклоняться от истинного не более чем на 20см.

4Решение задачи сводится к определению вероятности попадания СВ Х (ошибка измерения) с математическим ожиданием а=5см и средним квадратичным отклонением s=10см в интервал значений (‑20, 20).По формуле вычисления вероятности попадания Х в заданный интервал имеем:

P(‑20<Х<20) = = .3

Пример 5.7. Доказать, что параметр а нормальной плотности распределения СВ Х является математическим ожиданием Х.

4Доказательство.  По определению: . Для нормального распределения получим:

= = =  =   + =a

(так как =0, а интеграл Пуассона:  ). 3

Задачи

Биномиальный закон.

5.1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Ответ:

5.2. Партия из 10 изделий проверяется на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.8. Определить математическое ожидание и дисперсию СВ Х = {число стандартных изделий в партии}.

Ответ:

5.3. В большой партии 20% нестандартных деталей. Из них наудачу отобраны 5 деталей. а) написать биномиальный закон распределения дискретной СВ Х - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных; б) построить многоугольник распределения; в) найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

M(X) = 1;

5.4. Написать биномиальный закон распределения дискретной СВ Х ‑ числа появлений “герба” при двух бросках монеты. Построить функцию распределения.