Плотность распределения вероятностей

F(x) исчерпывающе характеризует СВ Х, однако удобнее охарактеризовать непрерывную СВ Х при помощи другой функции , которую называют дифференциальной функциейраспределения. Она уже не является вероятностью, т.к. в силу определения производной  Отношение  есть средняя плотность вероятности, а предел средней плотности при  есть плотность распределения вероятностей СВ Х. Таким образом, по определению

                     (4.4),

откуда следует, что

Свойства плотности вероятности

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;    5) .

Пример4.4. Дана плотность распределения вероятностей СВ Х:

. Найти функцию распределения Х.

4 В соответствии со свойством (3):

при x £ 0 : ;

при 0< x £ p/2: F(x)=  + = sinx;

при x> p/2: F(x)=  +  + = =1.

Итак: F(x)= . 3

Числовые характеристики случайных величин.

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно указать только некоторые характерные особенности распределения СВ. Это делается при помощи числовых характеристик: моды, медианы, асимметрии, эксцесса, математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения.

Модой М₀СВ Х называют наиболее вероятное ее значение.

Для дискретной СВ Х модой М₀ является такое ее значение, вероятность которого наибольшая.

Для  непрерывнойСВ Х модой М₀являетсятакое ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

Медианой М_e СВ Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной этой величины:

Р(Х < М_e ) =Р(Х > М_e ).                                                (4.14)

Для непрерывной СВ медианы М_e определяется из условия:

, .                                    (4.15)

Пример 4.6.

СВ Хзадана плотностью распределения

.