Дискретные случайные величины.

Простейшей формой выражения закона распределения дискретной СВ Х является таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ  и соответствующие им вероятности :

Такую таблицу ещё называют рядом распределения СВ.

Все возможные значения СВ Х образуют полную группу несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей, помещённых в таблице равна 1, т.е.

.                                  (4.1)

Графически ряд распределения представляется ломаной линией, которая называется многоугольником распределения. На оси абсцисс откладываются все возможные значения х  СВ X, а на оси ординат -

cоответствующие вероятности p_i. Полученные точки ( х , p_i) соединяются отрезками прямых (рис. 4.1).

Пример 4.1. Для изучения уровня зарплаты рабочих обследовано 5 частных предприятий. Вероятность того, что на каждом из них зарплата выше среднего уровня обеспеченности, рав-на 0,6. Построить ряд расп-ределения и многоугольник распределения СВ Х - числа предприятий, на которых зарплата выше среднего уровня обеспеченности.

4Возможными значениями СВ Хявляются: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, x₅=4, x₆=5.

 Вероятности этих значений можно вычислить по формуле Бернулли при    и :

P(X=0)=P₅(0)= (0,6)⁰(0,4)⁵»0,0102, P(X=1)=P₅(1)= (0,6)¹(0,4)⁴=0,0768, P(X=2)=P₅(2)= (0,6)²(0,4)³ =0,2304,  P(X=3)=P₅(3)= (0,6)³(0,4)²=0,3456, P(X=4)=P₅(4)= (0,6)⁴(0,4)¹=0,2592, P(X=5)=P₅(5)= (0,6)⁵(0,4)⁰»0,0778.

Условие  выполнено:  0,0102+0,0768+0,2304+0,3456+0,2502+0,0778=1,

все вероятности вычислены верно. Ряд распределения СВ Х имеет вид:

Многоугольник распределения изображен на рис.4.2. 3

4.3.Функция распределения.

Пусть Х - случайная величина и х - произвольное действительное число. Вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х, называется функцией распределения вероятностей СВ Х:

F(x)=P(X<x)                               (4.2).

Если рассматривать СВ Х как случайную точку на оси ОХ, которая в результате опыта может занять то или иное положение, то функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка Х в результате опыта окажется левее точки x (рис.4.3.1.).

Cвойства функции распределения

1) 0£F(x)£1, поскольку является верoятностью.

2) F(x) - неубывающая функция, т.е. при .

3) Функция распределения непрерывной СВ непрерывна: .

4) P(a£X<b)=F(b)-F(a).

5) Вероятность того, что непрерывная СВ Хпримет одно определенное значение, равна нулю: , но

6) .

Схематично функция распределения непрерывной СВ может быть представлена графиком, изображенным на рис.4.3.2.

Для дискретной СВ X, которая принимает значения x₁, x₂, …, x_n , функция распределения вычисляется согласно правила:

F(x)=P(X<x)=,                                       (4.3)

где символ x_i<x под знаком суммы обозначает, что суммирование распространяется на все значения СВ, которые по своей величине меньше аргумента х. Из выражения для F(x) следует, что функция распределения дискретной СВХ разрывна и возрастает скачками при переходе через точки возможных ее значений x₁, x₂,...,x_n, причем величина скачка равна вероятности соответствую-щего значения (рис. 4.4.).

Пример 4.2. Производится три независимых исследования оборачиваемости средств предприятия. Вероятность ошибки при каждом исследовании равна 0,4. Построить функцию распределения СВ Х - числа ошибок.

4 Возможными значениями СВХ  будут: x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3.

Вероятности этих значений можно вычислить поформулеБернулли:

,

где n=3; ; р = 0,4; q = 1 – 0,4 = 0,6.

Получим: Р(Х=0)=0,216, Р(Х=1)=0,432, Р(Х=2)=0,288, P(X=3)=0,064. Контроль: .

 Ряд распределения представится таблицей:

Функция распределения имеет вид:

F(x) = ,  её график представлен на рис. 4.5.3

Пример 4.3. Функция распределения непрерывной СВ Х имеет вид: F(x) = . Найти коэффициент a  и построить график F(х). Определить вероятность того, что СВ в результате опыта примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

    4Так как функция распределения непрерывной СВ Xдолжна быть непрерывной в любой точке, то:

= 1 Þ a(3-1)² = 1 Þ a=1/4.

График функции F(х)изображен на рис.4.6. На основании свойства (4) функции распределения вычислим: P(1<X<2) = F(2) ‑ F(1) = 1/4. 3