Глава 3. Повторение испытаний

Формула Бернулли

        Пусть опыт состоит в проведении серии  испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью Р(А)=р или не произойти с вероятностью Р( ) = 1 - Р(А) = 1 ‑ р = q. Если результат каждого испытания не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми повторными испытаниями. Событие А называют простым событием. Событие ‑{ появление простого события А ровно  раз в  независимых испытаниях} ‑называют сложным событием и обозначают .

    Опыт, удовлетворяющий перечисленным условиям, называют схемой испытаний Бернулли или схемой независимых испытаний.

Цель опыта: определить вероятность  сложного события , заключающегося в том, что в  независимых испытаниях простое событие А  появится ровно  раз и не появится  раз.

    Эта вероятность определяется формулой Бернулли:

,                                    (3.1)

где  ‑ биномиальные коэффициенты.

    Всего сложных вероятностей в схеме испытаний Бернулли всегда .

    Сумма сложных вероятностей равна сумме вероятностей полной группы попарно несовместных событий и описывает вероятность достоверного события, равную единице:

.          (3.2)

    Вероятность того, что в  испытаниях простое событие А наступит не менее  и не более  раз, равно сумме вероятностей сложных событий:

 =  = + +…+  = . (3.3)

    Соответственно, вероятности того, что в  испытаниях простое событие А наступит:

    1) менее  раз

 =  = + +…+  = ;

    2) более  раз

 =  = + +…+  = ;

    3) не менее  раз

 =  =  + + …+  = ;

    4) не более  раз

 =  = + +…+  = .

    Пример 3.1. Вероятность того, что в течение рабочего дня произойдет сбой в поставке сырья на производство, равна 0.8. Определить вероятности того, что в течение рабочей недели (5 дней):

1)  три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья;        

2)  сбой в поставках будет в трех рабочих днях;        

3)  сбой будет менее чем в трех рабочих днях;  

4)  сбой будет не более чем в одном рабочем дне; 

5)  сбоя в поставках не будет ни разу;       

6)  сбой будет хотя бы в одном рабочем дне;   

7)  сбой будет не менее чем в одном и не более чем в трех рабочих днях.

Простое событие А = {нет сбоя в поставках сырья в течение одного рабочего дня}, Р(А)=р=0.8. Противоположное событие ={произошел сбой в поставках сырья в течение рабочего дня},

Р( ) = 1‑ р =  q = 0.2.

1) Сложное событие В={ровно три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья}, его вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Р(В) = = =  =0.2048

2) Событие С= {сбой в поставках будет в трех рабочих днях},

Р(С) =  = =0.0512

3) Событие D= {сбой в поставках будет менее чем в трех рабочих днях} равно сумме сложных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}. Эти события несовместны, поэтому:

P(D) = + + =  =

= +  +  = 0.512(0.64+0.8+0.4) = 0.94208.

4) Событие F= {сбой в поставках будет не более чем в одном рабочем дне} состоит из суммы двух несовместных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне} и его вероятность:

Р(F)=  +  =  =

=  +  = 0.32768+0.4096 = 0.73728.

5) Событие Е=×{сбоя поставок не будет ни в одном рабочем дне},

Р(Е)=  =  =0.8⁵ =0.32768.

6) Событие G={сбой в поставках будет хотя бы в одном рабочем дне} является противоположным сложному событию Е= {сбоя не будет ни в одном дне}.

Р(G) =1‑Р(Е) = 1‑0.32768 =0.67232.

7) Событие K={сбой в поставках будет не менее, чем одном, и не более, чем в трех рабочих днях}, состоит из суммы трех несовместных сложных событий: {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}, {сбой будет в трех днях}:

Р(К) =  +  +  =  = + +  =0.8²×0.2×5(0.64+2×0.8×0.2+2×0.04)== 0.64×1.04=0.6656. 3